Бесконечность. Нужна ли она в математике?

[master]

migmit в сообщении #729889 писал(а):

С какими вытекающими?

ну например понятие "переменная мощность"; множества любых чисел всегда находятся на стадии конструирования...
Тут надо давать развернутый ответ, а я к нему не готов.

[migmit]

master в сообщении #729908 писал(а):

ну например понятие "переменная мощность";

Что это?

master в сообщении #729908 писал(а):

Тут надо давать развернутый ответ, а я к нему не готов.

Попробуйте какой-нибудь.

[binom]

Почему в учебнике 9 кл. детей учат тому, что операцию сложения, можно произвести бесконечное число раз?

Предлагают найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Но ведь невозможно произвести операцию сложения бесконечное число раз. Ни практически ни теоретически.

Надеюсь теперь всем понятно полная бесполезность такого понятия как бесконечность?

[ewert]

binom в сообщении #729969 писал(а):

Почему в учебнике 9 кл. детей учат тому, что операцию сложения, можно произвести бесконечное число раз?

Предлагают найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Методическая небрежность (впрочем, в данном случае неизбежная).

binom в сообщении #729969 писал(а):

Надеюсь теперь всем понятно полная бесполезность такого понятия как бесконечность?

"-- Ты суслика видишь? -- Нет. -- И я нет. А он есть!"

Ровно так же и с убывающими геометрическими прогрессиями. Вы просто никогда в жизни с ними не сталкивались А они есть!

[Shadow]

binom, Вы предлагаете выкинуть из науки все, что не понимаете?
Не лучше ли учится, попытатся понять?

[binom]

Цитата:

Методическая небрежность (впрочем, в данном случае неизбежная).

Это не методическая небрежность, это грубая ошибка. Указывая на возможность бесконечно произвести операцию сложения и при этом полчить конечный результат, мы тем самым вносим путаницу и неразбериху в математику.

Типа раз здесь можно бесконечно что то сложить, то почему нельзя в другом месте? И пошли поехали строить и городить огромное число различных правил и законов для математики.

Но ведь хватило же математикам ума договориться, что на ноль делить нельзя. А то ведь могли бы и придумать, что в результате деления на ноль, получится какая нибудь "чуказара". Математика хватило ума понять, что результат деления на ноль, бессмысленен.

Может и бесконечность убрать из метематики? Как понятие не обладающее смыслом?

[ewert]

binom в сообщении #729990 писал(а):

Типа раз здесь можно бесконечно что то сложить, то почему нельзя в другом месте?

А почему Вы полагаете, что нельзя? Вполне можно.

binom в сообщении #729990 писал(а):

Математика хватило ума понять, что результат деления на ноль, бессмысленен.

Ничего подобного: математикам хватило ума понять, что этот результат или бесконечен, или не определён. После чего поставить вопрос (весьма важный с чисто прикладной точки зрения) о возможном раскрытии таких неопределённостей. Но для формализации всего этого требуется понятие бесконечности, хотя бы потенциальной. А не будь этого понятия -- в космос так бы до сих пор в каретах и ездили.

[Nemiroff]

(Оффтоп)

Поражаюсь бесконечности терпения (или каких-то других качеств) некоторых участников форума.

[binom]

Цитата:

А не будь этого понятия -- в космос так бы до сих пор в каретах и ездили.

Если Вам не сложно, приведите хоть одну практическую задачу, для решения которой необходимо такое понятие как бесконечность?

[migmit]

binom в сообщении #729969 писал(а):

Почему в учебнике 9 кл. детей учат тому, что операцию сложения, можно произвести бесконечное число раз?

Во-первых, можно точную цитату?

Во-вторых, школьные учебники вообще очень часто слишком вольно обращаются с математикой (и не только с математикой). Скажем, в учебниках геометрии бывает, что предлагают доказать некое утверждение, не введя при этом ни одной аксиомы, разве что упомянув аксиому о параллельных.

[g______d]

Сумма бесконечного (даже не обязательно счетного) количества неотрицательных чисел вполне себе определена. И равна точной верхней грани всех конечных сумм.

[Deggial]

binom в сообщении #729444 писал(а):

Так вот утверждается, что "сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии" равна вполне конкретному числу.

Но ведь невозможно бесконечное число раз провести операцию сложения одних чисел с другими!

Deggial в сообщении #729573 писал(а):

Это неформально говоря, для тех, кто понимает. Но существует строгое определение суммы ряда, в котором нет никакого сложения бесконечного числа слагаемых. Возьмите любой приличный учебник по анализу и посмотрите в нём определение.

binom в сообщении #729969 писал(а):

Почему в учебнике 9 кл. детей учат тому, что операцию сложения, можно произвести бесконечное число раз?

Предлагают найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Но ведь невозможно произвести операцию сложения бесконечное число раз. Ни практически ни теоретически.

Во-первых, ошибка в рассуждении: из приведенных Вами аргументов не следует утверждение

binom в сообщении #729969 писал(а):

Надеюсь теперь всем понятно полная бесполезность такого понятия как бесконечность?

Во-вторых, Вам нужно 2 раза одно и то же объяснять? Напоминаю, что в дискуссионных темах уход от конструктивной дискуссии и уход от вопросов, которые Вам уже заданы, например вот:

Xaositect в сообщении #729632 писал(а):

Поэтому я прошу топикстартера: приведите, пожалуйста, определение действительного числа без использования бесконечности.

часто влечет перенос тем в Пургаторий. В данном случае детям объясняют одну простую но полезную вещь на пальцах, рассматривать её как грубую ошибку неадекватно.
Дети ведь в школе и с действительными числами работают, которые им также объяснены на пальцах. Вы предлагаете им рассказывать про сечение Дедекинда и кардинальные числа?

Предлагаю Вам ответить на вопрос Xaositect, в противном случае тема будет перемещена в Пургаторий.

[binom]

Давайте дискутировать конструктивно. Я с этим полностью согласен.

Приведите мне хоть одну задачу, практическую или теоретическую, для решения которой необходимо такое понятие как бесконечность?
(ну и чтобы в усливии задачи, бесконечности не было)

Таких задач не существует!

Если они существуют, то приведите. И я дам вам решение такой задачи, без всякой бесконечности.

[nikvic]

Посмотрим, где вы спрячете восьмёрку, доказывая, что 1/2+1/4+... сходится к 1.

[binom]

Цитата:

Посмотрим, где вы спрячете восьмёрку, доказывая, что 1/2+1/4+... сходится к 1.

У вас есть сумма убывающей геометрической прогрессии. Складывайте себе на здоровье!

Вам только осталось определиться, сколько членов прогрессии вы хотите сложить. Предел вычисляется по простой формуле.

Задайте число членов. Сложите. В чем вопрос?