Бесконечность. Нужна ли она в математике?

[binom]

Бесконечность как понятие вносит путаницу и сумятицу в математике.

Вот простой пример.

"сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии"

Формулу знают все и приводить не буду.

Так вот утверждается, что "сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии" равна вполне конкретному числу.

Но ведь невозможно бесконечное число раз провести операцию сложения одних чисел с другими!

А учебник вдалбливает людям в голову, что это вполне возможно.

[Someone]

binom в сообщении #729444 писал(а):

Но ведь невозможно бесконечное число раз провести операцию сложения одних чисел с другими!

А учебник вдалбливает людям в голову, что это вполне возможно.

Не надо писать здесь всякие глупости. При вычислении предела совершенно не требуется бесконечное число раз повторять какую-либо операцию. Все рассуждения и вычисления в математике являются конечными.

P.S. Вроде бы, есть какие-то системы с бесконечными формулами, но о них, по-моему, практически никто не знает.

[nikvic]

Someone в сообщении #729433 писал(а):

epros в сообщении #729424 писал(а):

nikvic в сообщении #729403 писал(а):

Бесконечность как абсолютное понятие в математике отсутствует. В каждом контексте она свой смысл

В текущем контексте имелось в виду множество натуральных чисел.

Бесконечность множества натуральных чисел означает всего лишь, что $\forall n\exists m(m>n)$.

Слишком много - ещё и какой-то уголок на боку
Бесконечность множества - это всего лишь его неконечность, упорядоченность - лишний бантик.

[Someone]

nikvic в сообщении #729474 писал(а):

Слишком много - ещё и какой-то уголок на боку

Ну, этот "уголок на боку" можем выразить в языке арифметики Пеано: $\exists k(m=n+k')$, где штрих означает переход к следующему натуральному числу (считаем, что натуральный ряд начинается с $0$; если с $1$, то штрих, естественно, не нужен; знаки сложения и умножения должны быть включены в сигнатуру, иначе уж слишком бедная "арифметика" получится). А вот как выразить "неконечность"?

[nikvic]

Someone в сообщении #729476 писал(а):

А вот как выразить "неконечность"?

У основателей - равномощность собственному подмножеству.

[epros]

Someone в сообщении #729443 писал(а):

И причём здесь конструктивный анализ вообще? Топикстартер о конструктивном анализе до сего момента, скорее всего, и не подозревал.

В сей момент я отвечал на вопрос одного из участников дискуссии и так уж получилось, что в ответе должен был прозвучать конструктивный анализ.

Someone в сообщении #729443 писал(а):

Речь шла о классическом анализе и об определении действительного числа в классическом анализе.

В классическом анализе нет единого определения действительного числа. Потому что если рассматривается т.н. «стандартная модель» арифметики, то определение окажется одним, а если нет, то совсем другим. И даже не так: Если рассматривается стандартная модель арифметики, то определение тоже не единственно. Ибо может оказаться, что эта модель строится в моделирующей теории, для которой мы тоже вправе рассмотреть нестандартную модель…

Определение конструктивного анализа мы вправе рассматривать как данное в рамках классического анализа, но применительно к достаточно строго ограниченной модели арифметики. Так что это вполне такие же «действительные числа», как и многие другие в классическом анализе…

Someone в сообщении #729443 писал(а):

Кстати, определение конструктивных действительных чисел тоже без бесконечности не обходится. Уже потому, что речь идёт о последовательностях, определённых для всех натуральных чисел. А их совокупность является бесконечной.

Нет там ни слова про бесконечность. Никому не придёт в голову перечислять все элементы последовательности, точно так же, как не придёт в голову перечислять все натуральные числа. Последовательность определяется конечной формулой (или кодом алгоритма — выше я говорил про «вычислимую функцию»).

-- Вт май 28, 2013 16:58:17 --

nikvic в сообщении #729481 писал(а):

Someone в сообщении #729476 писал(а):

А вот как выразить "неконечность"?

У основателей - равномощность собственному подмножеству.

Someone, не напомните, вроде Вы когда-то рассказывали про нестандартную модель ZFC, в которой существуют множества с кардинальностью больше, чем у любого натурального числа, но меньше, чем у минимального счётногоиндуктивного множества? Если я не ошибся. Интересно, как у таких множеств с конечностью по данному критерию?

[epros]

Кстати, хочу пояснить, почему вопрос о конечности/бесконечности в некотором смысле тождественен вопросу о конструктивности. В конструктивном анализе вопрос считается решенным, если существует алгоритм, имеющий точку останова, дающий на него ответ. Но вопрос наличия точки останова заключается именно в конечности множества его шагов. В некоторых аксиоматиках вопрос останова некоторых алгоритмов может быть неразрешим (например, в арифметике первого порядка неразрешим вопрос о конечности последовательности Гудстейна). Несомненно могут быть определены и такие алгоритмы, вопрос останова которых неразрешим и в столь сильных аксиоматиках, как ZFC (кою многие считают за некое «основание» математики).

Так что вопрос о конструктивности некоего утверждения может оказаться неразрешим ровно настолько же, насколько и вопрос о конечности некоего множества.

[nikvic]

epros в сообщении #729549 писал(а):

Несомненно могут быть определены и такие алгоритмы, вопрос останова которых неразрешим и в столь сильных аксиоматиках, как ZFC (кою многие считают за некое «основание» математики).

Да в любых - в соответствии с условиями первой т. Гёделя.

[Deggial]

mustitz в сообщении #729360 писал(а):

Или ты под высказывание "отказаться от бесконечности" подразумеваешь интуиционизм?

mustitz, замечание за фамильярность. Согласно правилам форума, следует обращаться друг к другу на "Вы".

binom в сообщении #729444 писал(а):

Так вот утверждается, что "сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии" равна вполне конкретному числу.

Но ведь невозможно бесконечное число раз провести операцию сложения одних чисел с другими!

Это неформально говоря, для тех, кто понимает. Но существует строгое определение суммы ряда, в котором нет никакого сложения бесконечного числа слагаемых. Возьмите любой приличный учебник по анализу и посмотрите в нём определение.

[Someone]

epros в сообщении #729505 писал(а):

В сей момент я отвечал на вопрос одного из участников дискуссии и так уж получилось, что в ответе должен был прозвучать конструктивный анализ.

Не уверен. Тем более, что конструктивный анализ не решает задачу определения действительных чисел без использования бесконечности: в конструктивном анализе бесконечность фундаментальных последовательностей столь же существенна, как и в классическом.

epros в сообщении #729505 писал(а):

В классическом анализе нет единого определения действительного числа.

Да есть там определения. Несколько штук. Вы их знаете, и знаете, что они эквивалентны.

epros в сообщении #729505 писал(а):

Потому что если рассматривается т.н. «стандартная модель»...

Ну причём тут модели? Определения ни от каких моделей не зависят. Определение даётся внутри теории, а модель - это нечто внешнее. Если Вы хотите сказать, что у классического анализа есть различные модели, в которых множества действительных чисел различны, то это в настоящее время является банальностью. И так упоминание конструктивного анализа в данной теме является сомнительным, а Вас ещё в теорию моделей потянуло.

epros в сообщении #729505 писал(а):

Нет там ни слова про бесконечность. Никому не придёт в голову перечислять все элементы последовательности, точно так же, как не придёт в голову перечислять все натуральные числа. Последовательность определяется конечной формулой (или кодом алгоритма — выше я говорил про «вычислимую функцию»).

Слова нет, а бесконечность есть. Она заложена уже в аксиоматику Пеано. Вообще, Ваши доводы странные. В классическом анализе ситуация ровно такая же, несмотря на отсутствие конструктивности: никому не придёт в голову перечислять все элементы последовательности или все натуральные числа. Все формулы также остаются конечными.

epros в сообщении #729505 писал(а):

Someone, не напомните, вроде Вы когда-то рассказывали про нестандартную модель ZFC, в которой существуют множества с кардинальностью больше, чем у любого натурального числа, но меньше, чем у минимального счётногоиндуктивного множества? Если я не ошибся. Интересно, как у таких множеств с конечностью по данному критерию?

Вы немного подзабыли, о чём шла речь.
Исторически в теории множеств есть два определения бесконечного множества:
1) определение Дедекинда: множество бесконечно, если оно равномощно своему собственному подмножеству ($A$ есть собственное подмножество $B$, если $A$ есть подмножество $B$, не совпадающее с $B$);
2) определение, которое сейчас, по-моему, является общепринятым: множество бесконечно, если оно не равномощно никакому натуральному числу ($0$ считается натуральным числом).

Эти определения эквивалентны в ZFC (с аксиомой выбора) и не эквивалентны в ZF (без аксиомы выбора). Именно, если нет аксиомы выбора, то может существовать множество, для которого можно построить конечную последовательность из попарно различных элементов сколь угодно большой длины (поэтому его мощность больше любого натурального числа), но нельзя построить бесконечную последовательность (поэтому его мощность не больше $\aleph_0$; поскольку меньше $\aleph_0$ она тоже не может быть, то эти две мощности несравнимы).

epros в сообщении #729505 писал(а):

Вы когда-то рассказывали про нестандартную модель ZFC

Я, собственно говоря, понятия не имею, что такое "стандартная модель" для теории множеств. Аббревиатура "СМ", по-моему, обозначает счётную модель.
Правда, когда я был студентом и аспирантом, на кафедральном семинаре иногда обсуждали применения методов нестандартного анализа в теории множеств и в топологии. Но потом это как-то затихло (может быть, просто прошло мимо меня).

nikvic в сообщении #729481 писал(а):

У основателей - равномощность собственному подмножеству.

В языке арифметики? Может быть, и можно, но наверняка громоздко. И подозреваю, что это будет равносильно чему-то вроде "$M$ бесконечно, если $\forall n\exists m((m\in M)\wedge(m>n))$". Естественно, подформулы $m\in M$ и $m>n$ нужно заменить их определениями.

[Xaositect]

Someone в сообщении #729413 писал(а):

Странно. А как залезешь в литературу по конструктивному анализу - там куча всяких множеств. Начиная с множества натуральных чисел. А потом появляются всякие перечислимые, разрешимые, и т.д., и т.п..
Вообще, мне непонятно стремление отказаться от слова "множество". Оно ведь ни в чём не провинилось.

Я, может быть, направильно выразился. Но там о множестве не обязательно думать как о совокупности элементов, гораздо важнее думать о множестве как алгоритме.

-- Вт май 28, 2013 20:30:52 --

И да, я, конечно, рад, что мы тут можем обсудить конструктивный анализ и нестандартные модели, но топикстартер наз не поймет.

Поэтому я прошу топикстартера: приведите, пожалуйста, определение действительного числа без использования бесконечности.

[Someone]

Xaositect в сообщении #729632 писал(а):

думать о множестве как алгоритме

Наверное, всё-таки формула (определение), а не алгоритм.

[epros]

Someone в сообщении #729625 писал(а):

конструктивный анализ не решает задачу определения действительных чисел без использования бесконечности: в конструктивном анализе бесконечность фундаментальных последовательностей столь же существенна, как и в классическом

В чём именно существенна? Не могли бы Вы применительно к озвученному мной определению конкретно указать, где там «используется» бесконечность? Напоминаю, что в терминах теории множеств «бесконечность» — это бесконечное множество.

Someone в сообщении #729625 писал(а):

Определения ни от каких моделей не зависят.

Верно, но от них зависит то, что этими определениями определяется.

Someone в сообщении #729625 писал(а):

Слова нет, а бесконечность есть. Она заложена уже в аксиоматику Пеано. Вообще, Ваши доводы странные. В классическом анализе ситуация ровно такая же, несмотря на отсутствие конструктивности: никому не придёт в голову перечислять все элементы последовательности или все натуральные числа. Все формулы также остаются конечными.

Я не спорю с тем, что в аксиомы Пеано заложена бесконечность множества натуральных чисел. Но не заложено его существование! Странно, что Вы не видите разницы: конструктивный анализ избегает декларирования существования бесконечных объектов (хотя, похоже, не все авторы этого придерживаются). Например, определение конструктивных действительных чисел не основано на декларации существования множества натуральных. А классическое определение обычно с таковой декларации и начинается.

-- Вт май 28, 2013 22:14:40 --

Someone в сообщении #729637 писал(а):

Xaositect в сообщении #729632 писал(а):

думать о множестве как алгоритме

Наверное, всё-таки формула (определение), а не алгоритм.

Насколько я понимаю, в конструктивном анализе декларация существования множества возможна только после того, как предъявлен строящий его алгоритм. Просто формулой языка можно декларировать существование чего угодно, включая неконструктивные объекты.

[master]

epros в сообщении #729708 писал(а):

Насколько я понимаю, в конструктивном анализе декларация существования множества возможна только после того, как предъявлен строящий его алгоритм.

если есть точка остановки, то множество конечно, а вот если нет то здесь можно либо применить индукцию и получить бесконечность, либо не применять и тогда мощность множества не определена. А я еще рассматриваю множество во время выполнения алгоритма со всеми вытекающими.

[migmit]

master в сообщении #729880 писал(а):

А я еще рассматриваю множество во время выполнения алгоритма со всеми вытекающими.

С какими вытекающими?