Забавный факт

[romka_pomka]

arqady в сообщении #728546 писал(а):

Как без занудного дифференцирования доказать, что для всех $x>0$ выполняется

$$x^{\sqrt2}+\frac{1}{x^{\sqrt2}}\geq2\left(x+\frac{1}{x}\right)-2$$

А можно ли так?
1. Допустим, что:

$$x^{\sqrt2}+\frac{1}{x^{\sqrt2}}<2\left(x+\frac{1}{x}\right)-2$$

2. Тогда после замены: $x=t^{\sqrt2}$, получим:

$$t^2+2+\frac{1}{t^2}<2\left(t^{\sqrt2}+\frac{1}{t^{\sqrt2}}\right)$$

$$\left(t+\frac{1}{t}\right)^2<2\left(t^{\sqrt2}+\frac{1}{t^{\sqrt2}}\right)$$

3. Обозначив $\alpha=t^{\sqrt2}+\frac{1}{t^{\sqrt2}}$, и $\beta=t+\frac{1}{t}$, перепишем пункты 1 и 2:
1'.

$$\alpha<2\beta-2$$

2'.

$$\beta^2<2\alpha$$

4. На основании пункта 3 можно записать выражение на $\beta$:

$$\beta^2<2(2\beta-2)$$

откуда

$$\beta^2 - 4\beta+4=(\beta-2)^2<0,$$

что неверно.

5. Следовательно допущение в пункте 1 неверно, т.е. имеем:

$$x^{\sqrt2}+\frac{1}{x^{\sqrt2}}\geq2\left(x+\frac{1}{x}\right)-2$$

[arqady]

romka_pomka в сообщении #728762 писал(а):

А можно ли так?
1. Допустим, что:

$$x^{\sqrt2}+\frac{1}{x^{\sqrt2}}<2\left(x+\frac{1}{x}\right)-2$$

Нельзя! Ведь это допущение для какого-то $x$, а не для всех.

[arqady]

Vince Diesel в сообщении #728733 писал(а):

Тогда так. Положим в неравенстве

$$ {\left(\frac{x^{\frac1{\sqrt2}}+x^{-\frac1{\sqrt2}}}2\right)^{\sqrt2} \ \ge \left(\frac{x+x^{-1}}2\right)^{\frac1\sqrt2}} $$

$y=x^{2^\frac14}$:

$$ \left(\left(\frac{y^{2^{\frac14}}+y^{-2^{\frac14}}}2\right)^{2^{-\frac14}}\right)^{2^{3/4}} \ge \left(\left(\frac{y^{2^{-\frac14}}+y^{-2^{-\frac14}}}2\right)^{2^{\frac14}}\right)^{2^{-3/4}}. $$

Проверьте это ещё раз.

(Оффтоп)

Я у Вас исправил кое что, но это не исправляет последующей ошибки.

-- Пн май 27, 2013 04:32:44 --

ewert в сообщении #728648 писал(а):

.

А вообще если сразу, то надо просто переписать исходное неравенство в виде $\ch\alpha t\geqslant\alpha^2\ch t-\alpha^2+1$, после чего оно воистину очевидно.

Вот оно!!! Спасибо!
Типа разложение в ряд впитало в себя дифференцирование. И это всё очень правильно!

[romka_pomka]

arqady в сообщении #728818 писал(а):

romka_pomka в сообщении #728762 писал(а):

А можно ли так?
1. Допустим, что:

$$x^{\sqrt2}+\frac{1}{x^{\sqrt2}}<2\left(x+\frac{1}{x}\right)-2$$

Нельзя! Ведь это допущение для какого-то $x$, а не для всех.

У меня по неопытности порвался шаблон. Не могли бы Вы разъяснить, где именно я ошибся? Хотел ведь для всех, которые больше нуля... Неужели я там где-то не глядя квантор всеобщности отринул?

[TOTAL]

romka_pomka в сообщении #728888 писал(а):

Не могли бы Вы разъяснить, где именно я ошибся? Хотел ведь для всех, которые больше нуля... Неужели я там где-то не глядя квантор всеобщности отринул?

Вы всего лишь доказали, что неравенство не может быть неверным при всех $x$.

[nnosipov]

romka_pomka в сообщении #728888 писал(а):

Не могли бы Вы разъяснить, где именно я ошибся?

У Вас переход к п. 1' не обоснован.

[TOTAL]

nnosipov в сообщении #728894 писал(а):

romka_pomka в сообщении #728888 писал(а):

Не могли бы Вы разъяснить, где именно я ошибся?

У Вас переход к п. 1' не обоснован.

Это зависит от того, что утверждалось в этом пункте. (Для всех $x$ или для какого-то одного конкретного.)

[nnosipov]

TOTAL в сообщении #728895 писал(а):

Для всех $x$ или для какого-то одного конкретного.

Согласен.

[romka_pomka]

TOTAL в сообщении #728892 писал(а):

Вы всего лишь доказали, что неравенство не может быть неверным при всех $x$.

А ведь я чего-то похожего с самого начала подсознательно боялся (что что-то пойдет не так)... А как-нибудь можно из моей писанины нормальное доказательство состряпать? Если например убрать этот финт "от противного", то между пунктами 3 и 4 стрелку "туда-сюда" имею право ставить (неравенство будет же нестрогое)?

[TOTAL]

romka_pomka в сообщении #728956 писал(а):

А как-нибудь можно из моей писанины нормальное доказательство состряпать?

Стряпайте. (Но не считайте, что читатели выучили эту писанину наизусть, так что Вам достаточно сказать про стрелку между пунктами.)

[ewert]

arqady в сообщении #728832 писал(а):

Типа разложение в ряд впитало в себя дифференцирование. И это всё очень правильно!

Я никаких рядов не знаю и знать не хочу. Очевидным же образом неравенство оказывается верным после двукратного дифференцирования с последующим откатом.

Соответственно, очевидной становится и точность этого неравенства. Поэтому как-то сомнительна возможность его доказательства без той или иной ссылки на производные, пусть и в неявном виде.

[romka_pomka]

TOTAL в сообщении #728960 писал(а):

Но не считайте, что читатели выучили эту писанину наизусть, так что Вам достаточно сказать про стрелку между пунктами.

Извините, не хотел показаться бестактным. Спасибо за обсуждение.

[arqady]

ewert в сообщении #728970 писал(а):

Я никаких рядов не знаю и знать не хочу.

Это дело вкуса. Мне нравится, что если посмотреть на $\ch{x}=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+...$, то Ваше неравенство становится очевидным совершенно бесплатно.

[ewert]

Просто разложение -- факт более сложный (и более поздний), чем таблица производных.

[arqady]

ewert в сообщении #729008 писал(а):

Просто разложение -- факт более сложный (и более поздний), чем таблица производных.

Важно, что это результат правильного мышления и мы им воспользовались.
Задача, конечно, слишком простая, чтобы раскручивать вокруг неё "сложную" философию, но факт, что произошла обычная для математики вещь: правильно подумали (аналогия между $x+\frac{1}{x}$ и $e^x+e^{-x}$) и получили что-то очевидное. Только как бы на другом уровне очевидности.
Вот и сказалось неизбывное наше (человеков) желание понять, что значит правильно подумать.
Много раз об этом писал, напишу ещё: математика - это область человеческой деятельности, в которой он пытается понять, что такое правильное мышление.
Для этого и создаётся и всё время совершенствуется специальный язык - язык математики. Только бы понять, что значит правильно подумать.