Формулы и теоремы - запоминать или выводить?

[_Ivana]

Понятно, что вопрос не совсем корректен. Но хотелось бы услышать мнения. Вот есть у меня сын семиклассник, и несмотря на школу, я хочу его увлечь математикой, программированием и физикой, показать их логическую стройность, связность и красоту, простите за пафос. Сталкиваемся с тем, что для решения задач необходимы "инструменты" - различные формулы и теоремы. Например, квадратное уравнение. Покрутили в общем виде, ручками выделили полный квадрат, выписали формулы корней, обозвали что-то дискриминантом и говорим - а теперь запомним эту формулу, чтобы в дальнейшем не выводить её каждый раз а сразу применять. Все понятно, собственно, это началось ещё с запоминания сложения цифр и таблицы умножения в десятичной системе счисления. Получается такой образ сантехника, который носит в чемодане кучу всяких инструментов, чтобы решить максимальное количество классов задач, возникающих у клиентов. Но ладно таблица умножения и квадратное уравнение, их просто вывести и проверить, а дальше пойдет тригонометрия и т.п., табличные интегралы... Насколько я ничего не помню из методики преподавания этого добра в школе, там многие формулы и теоремы "спускаются с неба" - вот, дети, есть такая формула для расчета того-то, положите её в свой чемодан сантехника и применяйте. Как заклинание в компьютерной игре. И что, в этом состоит красота и логическая стройность? Как мне дать ему все тригонометрические формулы? Спустить с неба минимум их, а остальные вывести из них? Или спустить с неба формулу Эйлера и вывести все что получится? Или рисовать планиметрические чертежи, выводить там, а потом сказать - а теперь просто поверь, что в случае отрицательных синусов и больших углов все будет то же самое?... Я понимаю, что запоминать все равно придется, и потому что будут трудновыводимые формулы, и для дальнейшего практического применения в роли сантехника. Но мне хотелось бы внести максимальное количество ясности и логической связности в этот формальный процесс запоминания/применения.

[ewert]

_Ivana в сообщении #725701 писал(а):

И что, в этом состоит красота и логическая стройность? Как мне дать ему все тригонометрические формулы? Спустить с неба минимум их, а остальные вывести из них?

В определённом смысле наоборот: а) базовые формулы не спускать с неба, а пояснить хотя бы на пальцах, откуда они, хотя бы в принципе, вытекают и б) выводить не все остальные, а хотя бы ключевые, остальные же принять по аналогии (впрочем, последнее зависит от степени углублённости изучения).

[Denis Russkih]

"Запоминать или нет?" — интересная тема на другом форуме, посвящённая данному вопросу.

[_Ivana]

Denis Russkih, да, оказывается вопрос волнует не меня одного. Например, эта тема на том же форуме тоже из этой серии.

(Оффтоп)

И вообще, тот форум неплох, если бы не постоянное зависание моего компа при его просмотре и присутствие там участника с ником Talanov

[Munin]

Лучше всего путь "ничего не запоминать, а вывести и применить 300 раз - само запомнится". Но поскольку эти 300 раз - довольно долго и скучно, то лучше всё-таки запоминать, что старшие советуют, - чисто для экономии времени. Можно, конечно, запоминать не всё, а только минимальный достаточный набор, чтобы вывести всё остальное.

Например, в тригонометрии достаточно формул суммы углов для синуса и косинуса, и основного тригонометрического тождества. Из них быстро выводятся двойные и половинные углы, суммы синусов и косинусов, квадраты синуса и косинуса (с кубами уже надо повозиться), всё для тангенса и котангенса. Иногда стоит ещё универсальную тригонометрическую подстановку помнить, но это уже когда в интегралы полезете.

-- 19.05.2013 16:36:32 --

(Оффтоп)

_Ivana в сообщении #725736 писал(а):

И вообще, тот форум неплох, если бы не постоянное зависание моего компа при его просмотре и присутствие там участника с ником Talanov

А заигнорить его нельзя?

[--mS--]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #725756 писал(а):

_Ivana в сообщении #725736 писал(а):

И вообще, тот форум неплох, если бы не постоянное зависание моего компа при его просмотре и присутствие там участника с ником Talanov

А заигнорить его нельзя?

Форум? Вполне можно и даже нужно.

[Shtorm]

Munin в сообщении #725756 писал(а):

Иногда стоит ещё универсальную тригонометрическую подстановку помнить, но это уже когда в интегралы полезете.

При решении некоторых школьных тригонометрических уравнений тоже нужна универсальная тригонометрическая подстановка.
Конечно нужно уметь выводить и 1-ую и 2-ую триг. подстановку, но неплохо бы также и запомнить их.
В целом и общем по теме: конечно нужно уметь всё выводить, но знать наизусть основной инструмент - желательно и полезно.
Приведу пример: когда у меня на занятии студенты решают простенькую задачку на скалярное или векторное произведение геометрических векторов, то часто зависают на значении синусов и косинусов углов. Зависнув, они мне говорят, ну сейчас выведу из окружности, можно? Я киваю, можно, можно. И они начинают долго и нудно рисовать и прикидывать. И кстати в итоге не каждый выводит А те кто знает наизусть значения синусов и косинусов опережают многократно.
То же самое происходит иногда при применении формул сокращённого умножения. Некоторые не помнят их и начинают выводить по сути и теряют на этом время.
А вообще - готовый набор инструментов - что же здесь плохого?

[_Ivana]

Спасибо за рекомендации.

Munin, по всем трем абзацам согласен. Осталось найти для всех случаев варианты красивого и лаконичного вывода этого минимально достаточного набора - в случае тригонометрии основное тригонометрическое тождество выводится тривиально из определения тригонометрических функций и теоремы Пифагора, а формулу суммы углов придется поискать.

Shtorm, я согласен с вами, что очень полезно знать и помнить все формулы - так мы можем при первом взгляде на выражение увидеть, во что более удобное его можно преобразовать. И более того, если не помнить какую-то конкретную формулу, то весьма не очевидно порой преобразование и решение. Но имхо есть предел формальному запоминанию, я сам не помню вторую половину таблицы умножения, а пользуюсь коммутативностью умножения. Да и синусы-косинусы стандартных углов можно помнить только .... один, разумеется, за 3 секунды выводя из окружности остальные.

[Shtorm]

_Ivana в сообщении #725883 писал(а):

Но имхо есть предел формальному запоминанию

Согласен. Именно поэтому я никогда и не прошу учить наизусть своих студентов формулу производной показательно-степенной функции, а учу каждый раз логарифмировать. Не прошу выучить наизусть формулу для неопределённого интеграла от простейшей дроби 3-го типа - а учу делать преобразования прям в конкретном примере и т.д. Просто есть основной набор инструментов, который неплохо иметь под рукой всегда.

_Ivana в сообщении #725883 писал(а):

разумеется, за 3 секунды выводя из окружности остальные

А вот умение вывести за 3 секунды - это тоже входит в основной набор инструментов

[ewert]

_Ivana в сообщении #725883 писал(а):

Shtorm, я согласен с вами, что очень полезно знать и помнить все формулы

А Shtorm вовсе ни разу этого и не говорил. Он говорил лишь, что необходимо помнить про стандартные углы. И это действительно необходимо во избежание сороканожести (правда, тоже с некоторыми оговорками). Однако же углы (даже отвлекаясь от оговорок) -- это далеко, далеко не все формулы, которые существуют в этом мире.

[mihailm]

(Оффтоп)

_Ivana в сообщении #725736 писал(а):

...и присутствие там участника с ником Talanov

Т.е. если бы он присутствовал на этом форуме вы бы расстроились?

[bot]

_Ivana в сообщении #725736 писал(а):

И вообще, тот форум неплох

Сначала подумал, что речь идёт о e-sci, оказалось о другом. Ну этот и без Таланова - рай для халявщиков.

[zask]

Я ничего не запоминаю, даже решение квадратного уравнения. Это, на мой взгляд, бессмысленно. При плотной обширной работе все равно все забудется. Мне кажется, это даже можно использовать как критерий: если Вы не забываете материал - значит плохо работаете .

[Munin]

zask в сообщении #727729 писал(а):

При плотной обширной работе все равно все забудется.

И наоборот, запомнится то, что нужно постоянно.

[Shtorm]

Munin в сообщении #727768 писал(а):

запомнится то, что нужно постоянно

Правильно, вот они и запоминаются - необходимые математические инструменты. В том числе и решение квадратного уравнения.
А вот студентов приходится заставлять учить эти математические инструменты - дабы наука впрок пошла.