Тройное равенство

[DjD USB]

Решить в натуральных числах:

$$ x+(y;z)=y+(x;z)=z+(x;y)$$

,
где $(m;n)=$НОД$(m;n)$

(Оффтоп)

Попытка решения:
Пусть $x<y<z$ и пусть $(x;y)=1$, и остальные ноды не равны единице(иначе все плохо), тогда: $x=ac; y=bk; z=abf$. Подставил в изначальное уравнение и получим из первого равенства, что $b(k-1)=a(c-1)$. Т.к $(a;b)=1$ следует, что $k=ap+1; c=bp+1$, где р-- некоторое натуральное число.
Теперь подставив эти значения получим из второго равенства что $ab(f-p)=b+a-1$ Это уравнение очевидно имеет решение только при $a=b=1$, но этот случай нам не подходит. Значит если $(x;y)=1$, то решений нет. Что дальше делать даже не знаю...

[Cash]

Пусть $(x,y)=d>1$.
Можно считать, что $(x,y,z)=1$ (иначе всё поделим на общий множитель).
Запишем теперь первое равенство в виде: $x-y = (z,x) - (z, y)$.
Присмотримся повнимательнее и видим, что...

[DjD USB]

Получается чтобы правая часть делилась на $d$ нужно, чтобы $(z;x)=(z;y)$

[Cash]

Ну что же вы в сантиметре от цели останавливаетесь?
Добейте же, наконец...

[DjD USB]

Ну получается, что $x=y=z$

[Cash]

[DjD USB]

Cash
, Спасибо большое!

[provincialka]

DjD USB в сообщении #727691 писал(а):

Получается чтобы правая часть делилась на $d$ нужно, чтобы $(z;x)=(z;y)$

Нет, неверно!
Пусть $x=6,y=4,z=3$. Тогда $d=2$. Имеем $(z,x)-(z,y)=3-1=2=x-y$.

[DjD USB]

provincialka в сообщении #727717 писал(а):

DjD USB в сообщении #727691 писал(а):

Получается чтобы правая часть делилась на $d$ нужно, чтобы $(z;x)=(z;y)$

Нет, неверно!
Пусть $x=6,y=4,z=3$. Тогда $d=2$. Имеем $(z,x)-(z,y)=3-1=2=x-y$.

Да, действительно, то, что я сказал не верно... Тогда у меня нет идей пока...

[provincialka]

Есть и другие решения. Например, $x=y$, $z$ - делитель $x$.

[DjD USB]

provincialka в сообщении #727730 писал(а):

Есть и другие решения. Например, $x=y$, $z$ - делитель $x$.

Да, действительно. Может поможете тогда, если есть какие-то идеи..

[TOTAL]

$x, y, z$ - взаимно простые (в совокупности)
$x=(x;y)(x;z)X$
$y=(z;y)(x;y)Y$
$z=(x;z)(y;z)Z$
где $X, Y, Z$ - попарно взаимно простые.

Подставить в какое-нибудь уравнение.

[Cash]

provincialka в сообщении #727717 писал(а):

Пусть $x=6,y=4,z=3$. Тогда $d=2$. Имеем $(z,x)-(z,y)=3-1=2=x-y$.

Угу...Всё не просто...
$x = d_2d_3u$
$y=d_1d_3v$
$z=d_1d_2t$
$(d_1,d_2,d_3)=1; (u,v,t)=1$
Тогда
$d_2u-d_1v = \frac{d_2-d_1}{d_3}$
$d_3u-d_1t = \frac{d_3-d_1}{d_2}$
нужно найти
$d_3|(d_2-d_1)$
$d_2|(d_3-d_1)$
Далее строить $u, v, t$

[DjD USB]

TOTAL в сообщении #727746 писал(а):

$x, y, z$ - взаимно простые (в совокупности)
$x=(x;y)(x;z)X$
$y=(z;y)(x;y)Y$
$z=(x;z)(y;z)Z$
где $X, Y, Z$ - попарно взаимно простые.

Подставить в какое-нибудь уравнение.

Ок, тогда получим равенство(подставляю в первое):
$(x;y)(x;z)X+(z;y)=(x;y)(y;z)Y+(x;z)$
Далее можно наверное так сгруппировать:
$(x;z)((x;z)X-1)=(z;y)((x;y)Y-1)$ Но дальше что, непонятно...

[provincialka]

Думаю, надо использовать неравенства. Если две переменные равны, легко показать, что третья является их делителем.
Пусть теперь $x<y<z$. Заметим, что $(y,z)=(y,z-y)$. Получим, что $(y,z)= (x,y) +z-x\le z-y$, так как НОД положительных чисел не превосходит их самих.
Сокращая $z$, получаем, что $(x,y)\le x-y <0$. Противоречие.

Думаю, эта задача скорее из раздела Олимпиады.