Тройное равенство

[TOTAL]

DjD USB в сообщении #727816 писал(а):

Ок, тогда получим равенство(подставляю в первое):
$(x;y)(x;z)X+(z;y)=(x;y)(y;z)Y+(x;z)$
Далее можно наверное так сгруппировать:
$(x;z)((x;z)X-1)=(z;y)((x;y)Y-1)$ Но дальше что, непонятно...

$(x;y)((x;z)X-(y;z)Y)=(x;z)-(z;y)$
Отсюда $x=y$, т.к. наибольший из трех общих делителей $(x;y)$ делит разность остальных двух $(x;z)-(z;y).$

[DjD USB]

TOTAL
, Спасибо, понял.
А дальше тогда получается, что $x=y=kz$, где $k$ -- любое натуральное число или просто какие-то два числа равны, а третий их делитель
А вот у меня идея такая появилась,
$(x;y)((x;z)X-(y;z)Y)=(x;z)-(z;y)$ для определенности будем считать, что $X>Y$, тогда $(x;y)((x;z)X-(y;z)Y)\ge Y(x;y)((x;z)-(y;z)\ge(x;z)-(y;z)$ Заметим что равенство достигается только при $(z;y)=(z;x)$

-- Сб май 25, 2013 08:16:53 --

provincialka в сообщении #727982 писал(а):

Думаю, надо использовать неравенства. Если две переменные равны, легко показать, что третья является их делителем.
Пусть теперь $x<y<z$. Заметим, что $(y,z)=(y,z-y)$. Получим, что $(y,z)= (x,y) +z-x\le z-y$, так как НОД положительных чисел не превосходит их самих.
Сокращая $z$, получаем, что $(x,y)\le x-y <0$. Противоречие.