2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Найти квадрат плюс единица, удовлетворяющий условиям…
Сообщение08.07.2007, 17:24 


24/05/06
74
$30^2 + 1 = 17 * 53$

$17 + 53 - 2 = 2^2 * 17;$ Где P1 = 17; P2 = 53; P3 = 17;
P1; P2; и P3 – простые числа.

Найти другой целочисленный квадрат, отличный от 30 в квадрате, который сложенный с
единицей давал бы произведение двух простых чисел (P1 x P2), таких, что
P1 + P2 – 2 = 4P3; Доказано, что других квадратов кроме $30^2 $,
когда P1 = P3 , не существует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти квадрат плюс единица, удовлетворяющий условиям…
Сообщение09.07.2007, 12:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17975
Москва
Anatolii писал(а):
Найти другой целочисленный квадрат, отличный от 30 в квадрате, который сложенный с единицей давал бы произведение двух простых чисел (P1 x P2), таких, что P1 + P2 – 2 = 4P3


2: $42^2+1=1765=5\cdot 353$, $5+353-2=356=4\cdot 89$
3: $62^2+1=3845=5\cdot 769$, $5+769-2=772=4\cdot 193$
4: $102^2+1=10405=5\cdot 2081$, $5+2081-2=2084=4\cdot 521$
5: $114^2+1=12997=41\cdot 317$, $41+317-2=356=4\cdot 89$
...
368: $19886^2+1=395452997=17\cdot 23261941$, $17+23261941-2=23261956=4\cdot 5815489$

 Профиль  
                  
 
 Продолжение
Сообщение10.07.2007, 21:29 


24/05/06
74
Вот примеры для трёх и четырёх простых чисел.

$70^2+1 = 4901 = 13 ^ 2 * 29 = 13 + 13 + 29 - 3 =  2 ^ 2 x 13 = 13$
$174^2+1 = 30277 = 13 * 17 * 137 = 13 + 17 + 137 - 3 = 2 ^ 2 x 41 = 41$
$710^2+1 = 504101 = 13 * 17 * 2281 = 13 + 17 + 2281 - 3 = 2308 = 2 ^ 2 x 577 = 577$
$970^2+1 = 940901 = 13 * 157 * 461 = 13 + 157 + 461 - 3 = 2 ^ 2 x 157 = 157$


$606^2+1 = 367237 = 13 ^ 2 * 41 * 53 = 13 + 13 + 41 + 53 - 4 = 2 ^ 2 x 29 = 29$
$746^2+1 = 556517 = 13 ^ 2 * 37 * 89 = 13 + 13 + 37 + 89 - 4 = 2 ^ 2 x 37 = 37$
Найти примеры для других ещё больших произведений простых чисел
удовлетворяющих вышеуказанным условиям.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.07.2007, 00:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
А зачем «найти примеры»? За что боремся?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти квадрат плюс единица, удовлетворяющий условиям…
Сообщение11.07.2007, 20:04 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5702
Anatolii писал(а):
Найти другой целочисленный квадрат, отличный от 30 в квадрате, который сложенный с
единицей давал бы произведение двух простых чисел (P1 x P2), таких, что
P1 + P2 – 2 = 4P3; Доказано, что других квадратов кроме $30^2 $,
когда P1 = P3 , не существует.

Как это не существует?! Вот например:
$81090^2 + 1 = 46817 \cdot 140453,$ причем $46817 + 140453 - 2 = 4\cdot 46817.$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.07.2007, 20:26 


24/05/06
74
Рассмотрим отдельно случай, когда 1) P1 + P2 – 2 = 4P1 и 2) $P1 * P2 = X^2$ из 1)
получаем P2 = 3P1 + 2 , подставляем это в 2) и получаем $3P1^2 + 2P1 - 1 = X^2$ или аналогично: $( (P1 + 1)^2 +2(P1 + 1)(P1 - 1) = X^2$ делим всё это на (P1 + 1) и будет 3) $(3P1 - 1)(P1 + 1) =  X^2$ отсюда будет $(X^2 = Y^2 * Z^2$ из этого выходит
4) $3P1 - 1 = 2Y^2$ и 5) $ P1 + 1 = 2Z^2$ откуда выводим $3Z^2 - 2 = Y^2$ , случай когда
Z = 153; Y = 265; даёт решение $ 81090^2 + 1 = 46817 * 140453$ Наименьшее не тривиальное решение, когда Z1 = 3; Y1 = 5; Из любого решения удовлетворяющего вышеуказанным условиям можно всегда получить новое большее решение, пример по формуле будем иметь, пусть Zn > Zn-1; Yn > Yn-1 и получаем 4Z1 – Y1 = Z2 , тогда $Y2 = \frac {{Z2} ^2 + 2}{3}$
Проверенно до случая 1400739172541 * 4 - 375326930089 = 5227629760075; при условии $3 * 3018173449203^2 - 2 = 5227629760075^2 $ Возможно продолжить поиск третьего ещё большего
решения, если оно существует, для этого необходимо, чтобы:
$ P1 = 2Z^2 - 1$ и $ P2 = 6Z^2 - 1$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.07.2007, 22:53 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5702
Anatolii писал(а):
Возможно продолжить поиск третьего ещё большего решения

Новых решений не существует вплоть до $10^{20000}$. Вообще же сильно облегчить поиск поможет предварительное просеивание. Только вот стоит ли игра свеч?
Может, вы обясните зачем вам такие квадраты понадобились?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group