Найти квадрат плюс единица, удовлетворяющий условиям…

[Anatolii]

$30^2 + 1 = 17 * 53$

$17 + 53 - 2 = 2^2 * 17;$ Где P1 = 17; P2 = 53; P3 = 17;
P1; P2; и P3 – простые числа.

Найти другой целочисленный квадрат, отличный от 30 в квадрате, который сложенный с
единицей давал бы произведение двух простых чисел (P1 x P2), таких, что
P1 + P2 – 2 = 4P3; Доказано, что других квадратов кроме $30^2 $,
когда P1 = P3 , не существует.

[Someone]

Anatolii писал(а):

Найти другой целочисленный квадрат, отличный от 30 в квадрате, который сложенный с единицей давал бы произведение двух простых чисел (P1 x P2), таких, что P1 + P2 – 2 = 4P3

2: $42^2+1=1765=5\cdot 353$, $5+353-2=356=4\cdot 89$
3: $62^2+1=3845=5\cdot 769$, $5+769-2=772=4\cdot 193$
4: $102^2+1=10405=5\cdot 2081$, $5+2081-2=2084=4\cdot 521$
5: $114^2+1=12997=41\cdot 317$, $41+317-2=356=4\cdot 89$
...
368: $19886^2+1=395452997=17\cdot 23261941$, $17+23261941-2=23261956=4\cdot 5815489$

[Anatolii]

Вот примеры для трёх и четырёх простых чисел.

$70^2+1 = 4901 = 13 ^ 2 * 29 = 13 + 13 + 29 - 3 = 2 ^ 2 x 13 = 13$
$174^2+1 = 30277 = 13 * 17 * 137 = 13 + 17 + 137 - 3 = 2 ^ 2 x 41 = 41$
$710^2+1 = 504101 = 13 * 17 * 2281 = 13 + 17 + 2281 - 3 = 2308 = 2 ^ 2 x 577 = 577$
$970^2+1 = 940901 = 13 * 157 * 461 = 13 + 157 + 461 - 3 = 2 ^ 2 x 157 = 157$


$606^2+1 = 367237 = 13 ^ 2 * 41 * 53 = 13 + 13 + 41 + 53 - 4 = 2 ^ 2 x 29 = 29$
$746^2+1 = 556517 = 13 ^ 2 * 37 * 89 = 13 + 13 + 37 + 89 - 4 = 2 ^ 2 x 37 = 37$
Найти примеры для других ещё больших произведений простых чисел
удовлетворяющих вышеуказанным условиям.

[незваный гость]

А зачем «найти примеры»? За что боремся?

[maxal]

Anatolii писал(а):

Найти другой целочисленный квадрат, отличный от 30 в квадрате, который сложенный с
единицей давал бы произведение двух простых чисел (P1 x P2), таких, что
P1 + P2 – 2 = 4P3; Доказано, что других квадратов кроме $30^2 $,
когда P1 = P3 , не существует.

Как это не существует?! Вот например:
$81090^2 + 1 = 46817 \cdot 140453,$ причем $46817 + 140453 - 2 = 4\cdot 46817.$

[Anatolii]

Рассмотрим отдельно случай, когда 1) P1 + P2 – 2 = 4P1 и 2) $P1 * P2 = X^2$ из 1)
получаем P2 = 3P1 + 2 , подставляем это в 2) и получаем $3P1^2 + 2P1 - 1 = X^2$ или аналогично: $( (P1 + 1)^2 +2(P1 + 1)(P1 - 1) = X^2$ делим всё это на (P1 + 1) и будет 3) $(3P1 - 1)(P1 + 1) = X^2$ отсюда будет $(X^2 = Y^2 * Z^2$ из этого выходит
4) $3P1 - 1 = 2Y^2$ и 5) $ P1 + 1 = 2Z^2$ откуда выводим $3Z^2 - 2 = Y^2$ , случай когда
Z = 153; Y = 265; даёт решение $ 81090^2 + 1 = 46817 * 140453$ Наименьшее не тривиальное решение, когда Z1 = 3; Y1 = 5; Из любого решения удовлетворяющего вышеуказанным условиям можно всегда получить новое большее решение, пример по формуле будем иметь, пусть Zn > Zn-1; Yn > Yn-1 и получаем 4Z1 – Y1 = Z2 , тогда $Y2 = \frac {{Z2} ^2 + 2}{3}$
Проверенно до случая 1400739172541 * 4 - 375326930089 = 5227629760075; при условии $3 * 3018173449203^2 - 2 = 5227629760075^2 $ Возможно продолжить поиск третьего ещё большего
решения, если оно существует, для этого необходимо, чтобы:
$ P1 = 2Z^2 - 1$ и $ P2 = 6Z^2 - 1$

[maxal]

Anatolii писал(а):

Возможно продолжить поиск третьего ещё большего решения

Новых решений не существует вплоть до $10^{20000}$. Вообще же сильно облегчить поиск поможет предварительное просеивание. Только вот стоит ли игра свеч?
Может, вы обясните зачем вам такие квадраты понадобились?