Решение уравнения Клейна-Гордона для потенциального ящика

[Lvov]

Цитата:

ewert:
Не верю. Во всяком случае, как минимум начиная с 4-го издания там всё нормально. И трудно поверить, что во 2-м издании мог быть допущен такой грубый ляп.

Посмотрел я 4-е издание ЛЛ3. В 4-м издании от 1989г текст параграфа 22 "Потенциальная яма" остался тем же, что в издании 2 от 1963г.
В конце задачи 2 имеются такие слова: "В частности, для мелкой ямы, в которой Uo<<..., уравнение (5) не имеет корней вовсе".
Замечу, что корни уравнения (5) определяют допустимые уровни энергии локализованной частицы.

Не понимаю, почему рассматриваемое положение Вы называете грубым ляпом? Не могли бы Вы указать источник, в котором утверждается, что частица может локализоваться в сколь угодно мелкой потенциальной яме?

С уважением О.Львов

[ewert]

Lvov в сообщении #725380 писал(а):

"В частности, для мелкой ямы, в которой Uo<<..., уравнение (5) не имеет корней вовсе".

А Вы дочитайте абзац до конца. Что там в последнем предложении?...

Lvov в сообщении #725380 писал(а):

Не могли бы Вы указать источник, в котором утверждается, что частица может локализоваться в сколь угодно мелкой потенциальной яме?

Например: Рид, Саймон, Методы современной математической физики, т.4 (Анализ операторов), теорема XIII.11. И затем некоторая конкретизация в самой последней теореме XIII.110.

[Nemiroff]

Вы шутите, должно быть.

[Lvov]

Цитата:

ewert
А Вы дочитайте абзац до конца. Что там в последнем предложении?...

Господа, участники форума, я должен извиниться перед Вами, за то, что, запутавшись в трех соснах, я пытался сбить Вас с толку. Простите.

С уважением О.Львов

[Lvov]

Цитата:

warlock66613:
То есть изначально ничего такого не закладывается. Просто решается уравнение Клейна - Гордона, но без одноэлектронного приближения.
Давайте вы сначала посчитаете честно, как физики из Иллинойского университета - без использования одноэлектронного приближения

Господин warlock66613, в чем же моя нечестность? Я пытался решать уравнение Клейна-Гордона без каких-либо приближений, но и без привлечения дополнительных гипотез.
Каким образом решали его физики из Иллинойского университета я не знаю? Не знаю также, как показать, что из уравнения следует рождение электронно-позитронных пар, в результате чего низкоэнергетический электрон удерживается в ящике при высоких заграждающих стенках?
Если Вы знаете, как решать уравнение Клейна-Гордона "честно", подскажите, пожалуйста.

С уважением О.Львов

[warlock66613]

Lvov в сообщении #725636 писал(а):

Если Вы знаете, как решать уравнение Клейна-Гордона "честно", подскажите, пожалуйста.

Примерно знаю. Надо его проквантовать (это ещё называется "вторичное квантование"), а потом решать. К сожалению, конкретную технику как решать вторично-квантованное уравнение подсказать не могу.

[SergeyGubanov]

Lvov в сообщении #725321 писал(а):

Но факты таковы, что локализованного решения из уравнения Клейна-Гордона (УКГ) для электрона в потенциальном ящике с заграждающим потенциалом $(E-Eo)>U>(E+Eo)$ не следует.

Пока факты таковы, что уравнения Клейна-Гордона в которое входила бы буква $U$ здесь вообще не выписано. Об чём вообще речь?

[warlock66613]

SergeyGubanov в сообщении #726554 писал(а):

Об чём вообще речь?

Я конечно не знаю, какое именно уравнение решает Lvov, но скорее всего это уравнение Клейна-Гордона с заменой $\frac {\partial} {\partial t} \to \frac {\partial} {\partial t} - \frac i {\hbar} U$

[Lvov]

<quote>warlock66613:
Примерно знаю. Надо его проквантовать (это ещё называется "вторичное квантование"), а потом решать. К сожалению, конкретную технику как решать вторично-квантованное уравнение подсказать не могу.</quote>

Метод вторичного квантования был разработан в 40-50гг прошлого века. Однако проблемная задача прохождения электрона через очень высокий барьер была решена лишь в 2004 г. Видимо, использование одного метода вторичного квантования не решало проблемы, и физики нашли какие-то дополнительные приемы решения задачи.

<quote>SergeyGubanov:
Пока факты таковы, что уравнения Клейна-Гордона в которое входила бы буква $U$ здесь вообще не выписано. Об чём вообще речь?</quote>

$U$ - потенциальная энергия частицы. В уравнениях Клейна-Гордона (УКГ) и Дирака она равняется произведению элементарного заряда на электрический потенциал.
Стационарное УКГ для пространственной составляющей волновой функции в рассматриваемом случае вне потенциального ящика, где $U$ отлично от нуля, имеет вид

$$\psi'' - [(E-U)^2-m^2]\psi=0.$$

Решение этого уравнения обычным способом показывает, что потенциальный барьер умеренной высоты задерживает низкоэнергетический электрон, но очень высокий барьер не препятствует выходу такого электрона за пределы потенциального ящика.

С уважением, О.Львов

[Munin]

Lvov в сообщении #726813 писал(а):

Однако проблемная задача прохождения электрона через очень высокий барьер была решена лишь в 2004 г.

Это кто вам сказал? Тогда же, Клейном, и была решена.

[warlock66613]

Munin в сообщении #726826 писал(а):

Это кто вам сказал? Тогда же, Клейном, и была решена.

Это я сказал вот тут:

warlock66613 в сообщении #725153 писал(а):

викимусорка в Парадокс Клейна писал(а):

С использованием компьютерного моделирования в квантовой теории поля было показано, что электрон полностью отражается от барьера

[SergeyGubanov]

Lvov в сообщении #726813 писал(а):

В уравнениях Клейна-Гордона (УКГ) и Дирака она равняется произведению элементарного заряда на электрический потенциал.

Вот теперь ясно. Уравнение Клейна Гордона оказывается имеется ввиду для комплексного скалярного поля взаимодействующего с электромагнитным полем. То есть, по-факту, рассматривается электрически заряженная частица в очень сильном электростатическом поле.

[Lvov]

Цитата:

Munin:
Это кто вам сказал? Тогда же, Клейном, и была решена.

warlock66613:
Это я сказал вот тут:

Цитата:

викимусорка в Парадокс Клейна писал(а):
С использованием компьютерного моделирования в квантовой теории поля было показано, что электрон полностью отражается от барьера

Добавлю, что полная фраза из Вики такова:
"75-летний парадокс был рассмотрен численно в 2004 году в работе [1] физиками из университета Иллинойса. С использованием компьютерного моделирования в квантовой теории поля было показано, что электрон полностью отражается от барьера, а в барьере создаются электрон-позитронные пары".

К тому же вспомним, что на момент открытия парадокса Клейна (примерно 1930г) компьютеров еще не существовало.

С уважением, О.Львов

[Lvov]

Итак, с целью более подробного изучения проблемы я решил обратиться к первоисточнику, указанному в русскоязычной Вике. Но мои поиски в Сети оказались безрезультатными, хотя Яндекс и указывал ссылку на нужный источник. Открывалась же другая статья.

Тогда я обратился к англоязычной Вике. Оказалось, что в отличие от нашей Википедии, которая считает проблему решенной американскими учеными в 2004г, в том смысле, что низкоэнергетический электрон все же задерживается сверхвысоким потенциальным барьером, англоязычный вариант Вики не столь оптимистичен. Здесь считается, что существует несколько вариантов объяснения парадокса Клейна.

Вот фраза из Англовики в моем корявом переводе:
"Первая интерпретация парадокса - то, что потенциальный барьер не может полностью изменить направление групповой скорости безмассовой релятивистской частицы. Это объяснение лучше подходит в случае единственного решения для частицы, указанного выше. Другие, более сложные интерпретации, предложенные в литературе, рассматривают проблему в контексте квантовой полевой теории, где показывается, что не сдерживаемое туннелирование может произойти из-за существования пар античастица-частица в потенциальной области".

С уважением, О.Львов

[Helium]

Lvov в сообщении #726813 писал(а):

$U$ - потенциальная энергия частицы. В уравнениях Клейна-Гордона (УКГ) и Дирака она равняется произведению элементарного заряда на электрический потенциал.
Стационарное УКГ для пространственной составляющей волновой функции в рассматриваемом случае вне потенциального ящика, где $U$ отлично от нуля, имеет вид

$$\psi'' - [(E-U)^2-m^2]\psi=0.$$

Решение этого уравнения обычным способом показывает, что потенциальный барьер умеренной высоты задерживает низкоэнергетический электрон, но очень высокий барьер не препятствует выходу такого электрона за пределы потенциального ящика.

С уважением, О.Львов

Во многих местах уравнение приводится в виде

$$\Delta \psi +\frac{1}{{\hbar}^{2}{c}^{2}}\left[{\left(E-U \right)}^{2}-{m}^{2}{c}^{4} \right]\psi =0 $$

Какая форма верна со знаком "+" или со знаком "- " ?