Мат. ожидание и дисперсия min и max показ. распред.

[misha89]

Доброго времени суток, у меня есть задание:
$Пусть $x_{(1)}, ..., x_{(n)} -$ вариационный ряд, построенный по выборке $x_1, ..., x_n$, где $x_k$ независимы и имеют показательное распределение с параметром $a$. Найти математическое ожидание и дисперсию оценки $\hat{\theta_2}=\frac{x_{(1)}+x_{(n)}}{2}.$


Найдем функцию и плотность распределения минимума и максимума
$ $$ M\hat{\theta_2}=M(\frac{x_{(1)}+x_{(n)}}{2})=\frac{1}{2}(M_{\min(x_i)}+M_{\max(x_i)}) $$ $$ F_{\max(x_i)}=p(\max{(x_i)}<t)=\prod_{i=1}^n p(x_i<t)=(\int_{0}^t ae^{-ax} dt)^n=(tae^{-ax})^n $$ $$ p_{\max(x_i)}=F\prime_{\max(x_i)}=\frac{n (tae^{-ax})^n}{t} $$ $
Но если дальше считать мат ожидание, то получается фигня какая-то.
Помогите разобраться

[--mS--]

misha89 в сообщении #720542 писал(а):

$$ \ldots \prod_{i=1}^n p(x_i<t)=(\int_{0}^t ae^{-ax} dt)^n \ldots $$

Вот это вот что такое? Чтобы найти вероятность, плотность следует интегрировать по её родной переменной, а не по чужой.

[misha89]

--mS-- в сообщении #720551 писал(а):

misha89 в сообщении #720542 писал(а):

Чтобы найти вероятность, плотность следует интегрировать по её родной переменной, а не по чужой.

Но у меня же есть верхняя граница t. Независимо от нее мне брать интеграл от 0 до беск.?

[--mS--]

$$\mathsf P(X < t) = \int\limits_{-\infty}^t f(x)\,dx = \int\limits_{-\infty}^t f(y)\,dy = \int\limits_{-\infty}^t f(u)\,du = \int\limits_{-\infty}^t f(s)\,ds.$$

Но никак не $ \int\limits_{-\infty}^t f(\pmb x)\,d\pmb t$ !

[misha89]

--mS-- в сообщении #720680 писал(а):

$$\mathsf P(X < t) = \int\limits_{-\infty}^t f(x)\,dx = \int\limits_{-\infty}^t f(y)\,dy = \int\limits_{-\infty}^t f(u)\,du = \int\limits_{-\infty}^t f(s)\,ds.$$

Но никак не $ \int\limits_{-\infty}^t f(\pmb x)\,d\pmb t$ !

Почему нижняя граница минус беск.?

Да и если посчитать что с нулем внизу, что с минус бесконечностью, то функцию мы найдем, плотность найдем, а вот мат. ож. снова косяк какой-то.

С нулем
$ $$ F_{\max(x_i)}=p(\max{(x_i)}<t)=\prod_{i=1}^n p(x_i<t)=(\int_{0}^t ae^{-ax} dx)^n= (1-e^{-at})^n $$ $$ p_{\max(x_i)}=F\prime_{\max(x_i)}=n a e^{-at}(1-e^{-at})^{n-1} $$ $$ M_{\max(x_i)}=n\int\limits_{0}^\infty at e^{-at}(1-e^{-at})^{n-1} dt=? $$$

Теперь покажу с минус бесконечностью
$ $$ F_{\max(x_i)}=p(\max{(x_i)}<t)=\prod_{i=1}^n p(x_i<t)=(\int_{-\infty}^t ae^{-ax} dx)^n= (-e^{-at})^n $$ $$ p_{\max(x_i)}=F\prime_{\max(x_i)}= -n a (-e^{-at})^{n} $$ $$ M_{\max(x_i)}= -n\int\limits_{0}^\infty at (-e^{-at})^{n} dt=? $$$

Помогите разобраться

[--mS--]

Плотность показательного распределения равна $a e^{-ax}$ только при положительных $x$! А не при всех.

А матожидание считайте. Бином Ньютона, например, поможет.

[misha89]

--mS-- в сообщении #720942 писал(а):

А матожидание считайте. Бином Ньютона, например, поможет.

А если решать в общем виде, то получается вот что:
$ $$ F_{\min(x_i)}=P\{x_{(1)}\le m\}= 1-P\{x_1>m, x_2>m,\dots,x_n>m\}= $$$$ =1-\prod_{i=1}^n P\{x_i>m\}=1-(\int_{0}^m p(x)dx)^n $$$$ F_{\max(x_i)}=P\{\max{(x_i)}\le t\}=(\int_{0}^t p(x) dx)^n, p(x) - \mbox{плотность вероятности} $$$$ p_{\min(x_i)}=F\prime_{\min(x_i)}=n p(x) (\int_{0}^t p(x) dx)^{n-1} $$ $$ p_{\max(x_i)}=F\prime_{\max(x_i)}=n p(x) (\int_{0}^t p(x) dx)^{n-1} $$ $

Разве это нормально?

[--mS--]

Нет, это не только ненормально, но в общем виде и неверно. Функция распределения - это не $\int_0^t p(x)dx$. А вероятность $\mathsf P(x_i > m)$ тем более не равна $\int_0^m p(x)dx$.

[misha89]

--mS-- в сообщении #725816 писал(а):

Нет, это не только ненормально, но в общем виде и неверно. Функция распределения - это не $\int_0^t p(x)dx$. А вероятность $\mathsf P(x_i > m)$ тем более не равна $\int_0^m p(x)dx$.

Переделал

$Найдем функцию и плотность распределения минимума и максимума $$ F_{x_{(n)}}(x)=P\{x_{(n)}\le x\}=P\{x_1\le x, x_2\le x,\dots,x_n\le x\} = \prod_{i=1}^n P\{x_i\le x\}=(\int_{0}^x p(x)dx)^n$$ $$ F_{x_{(1)}}(x)=P\{x_{(1)}\le x\}=1-P\{x_{(1)}> x\}=1-(1- \int_{0}^x p(x)dx)^n $$ $$ p_{x_{(1)}}=F\prime_{x_{(1)}}=n p(x) (1-\int_{0}^x p(x) dx)^{n-1} $$ $$ p_{x_{(n)}}=F\prime_{x_{(n)}}=n p(x) (\int_{0}^x p(x) dx)^{n-1} $$ Находим мат.ожидание максимума и минимума. $$ M_{x_{(1)}}=n\int\limits_{0}^\infty x p_{x_{(1)}}dx$$ $$ M_{x_{(n)}}=n\int\limits_{0}^\infty x p_{x_{(n)}}dx $$ Мат. ожидание второй оценки: $$ M\hat{\theta_2}=\frac{1}{2}(M_{x_{(1)}}+M_{x_{(n)}})=\frac{n}{2}(\int\limits_{0}^\infty(x p_{x_{(1)}} + x p_{x_{(n)}})dx) $$$

[--mS--]

Давайте определимся. Или Вы решаете в общем виде - тогда перечитайте сообщение выше. Функция распределения НЕ РАВНА $\int_0^t p(x)\,dx$.
Или Вы решаете для показательного распределения. Тогда все Ваши страшные интегралы и страшные функции распределения записываются в виде конкретных функций. И чем раньше Вы их подставите в свои выкладки, тем лучше.

[misha89]

--mS-- в сообщении #725852 писал(а):

Давайте определимся. Или Вы решаете в общем виде - тогда перечитайте сообщение выше. Функция распределения НЕ РАВНА $\int_0^t p(x)\,dx$.
Или Вы решаете для показательного распределения. Тогда все Ваши страшные интегралы и страшные функции распределения записываются в виде конкретных функций. И чем раньше Вы их подставите в свои выкладки, тем лучше.

Решаю для показательного распределения

Чему в таком случае равна функция распределения?

-- 19.05.2013, 21:09 --

$$$ F_{x_{(n)}}(x)=P\{x_{(n)}\le x\}= P\{x_1\le x, x_2\le x,\dots,x_n\le x\}= \prod_{i=1}^n P\{x_i\le x\}=$$ $$ =(F(x))^n=(1-e^{-ax})^n$$ $$ F_{x_{(1)}}(x)=P\{x_{(1)}\le x\}=1-P\{x_{(1)}> x\}=1-(e^{-ax})^n $$ $$ p_{x_{(1)}}=F\prime_{x_{(1)}}=n a e^{-anx} $$ $$ p_{x_{(n)}}=F\prime_{x_{(n)}}=a n e^{-ax} (1-e^{-ax})^{n-1} $$ Находим мат.ожидание максимума и минимума. $$ M_{x_{(1)}}=\int\limits_{0}^\infty x p_{x_{(1)}}dx$$ $$ M_{x_{(n)}}=\int\limits_{0}^\infty x p_{x_{(n)}}dx $$$

Правильно ли теперь?
Мне не приходилось никогда решать через бином Ньютона, я понятия не имею как это делать.

[--mS--]

Так, так. Хотя бы $\mathsf Mx_{(1)}$-то вычислите?

Для $\mathsf Mx_{(n)}$ вот бином Ньютона.

[misha89]

--mS-- в сообщении #726094 писал(а):

Так, так. Хотя бы $\mathsf Mx_{(1)}$-то вычислите?

Для $\mathsf Mx_{(n)}$ вот бином Ньютона.

$ $$Mx_{(1)}=an\int x e^{-anx}dx=\frac{1}{an}$$$
Рассмотрим

$$$p_{x(n)}=ane^{-ax}(1-e^{-ax})^{n-1}=- an e^{-ax} \sum_{k=0}^\infty {\frac{(n-1)!}{k!(n-1-k)!} e^{-axk}}=- an \sum_{k=0}^\infty {\frac{(n-1)!}{k!(n-1-k)!} e^{-ax(k+1)}}$$$

.
Отдельно сумму
$\sum_{k=0}^\infty {e^{-ax(k+1)}}=\frac{1}{e^{ax}-1} $.
При чем
$\int_0^\infty \frac{x}{e^{ax}-1}dx$
вольфрам не считает.
И сумму биномиального коэффициента тоже не посчитать.

И еще, чтобы найти дисперсию оценки, надо найти мат ож от квадрата оценки:
$M(\frac{x_{(1)}+x_{(n)}}{2})^2=M(\frac{x_{(1)}^2+x_{(n)}^2+2x_{(1)}x_{(n)}}{4})=\frac{M(x_{(1)}^2)+M(x_{(n)}^2)+2M(x_{(1)})M(x_{(n)})}{4}$
Для этого надо найти функцию распределения $F_{x_{(1)}}(x^2)?$

[--mS--]

И откуда бесконечные суммы?

Давайте, Вы сами посчитаете правильно простейший интеграл, а? И сами правильно цифирки в формулу подставите?

-- Ср май 22, 2013 02:03:17 --

misha89 в сообщении #726821 писал(а):

Для этого надо найти функцию распределения $F_{x_{(1)}}(x^2)?$

Что это за функция?

А вот функцию распределения пары $(x_{(1)}, x_{(n)})$ искать, действительно, придётся. Или плотность.

[misha89]

--mS-- в сообщении #726830 писал(а):

И откуда бесконечные суммы?

Я захожу в вики нахожу раздел обобщения и вижу чудесную формулу.
http://upload.wikimedia.org/math/3/a/3/ ... df6e54.png

Цитата:

-- Ср май 22, 2013 02:03:17 --

misha89 в сообщении #726821 писал(а):

Для этого надо найти функцию распределения $F_{x_{(1)}}(x^2)?$

Что это за функция?

Если бы я знал, просто не понимаю, для нахождения функции распределения от квадрата, какую величину в квадрат возводить надо? Или функция от $x_{(1)}$ и от $x_{(n)}$ я не трогаю, но к этим двум добавляю функцию распределения от пары, как вы сказали? Это как вообще искать?

-- 21.05.2013, 23:26 --

--mS-- в сообщении #726830 писал(а):

Давайте, Вы сами посчитаете правильно простейший интеграл, а? И сами правильно цифирки в формулу подставите?

Интеграл - ок, цифры какие куда подставить, конкретней скажите.

-- 22.05.2013, 00:05 --

$\sum_{k=0}^n {\frac{(n-1)!}{k!(n-1-k)!}}=2^{n-1}$
$\sum_{k=0}^n {e^{-ax(k+1)}}=-\frac{e^{-a(n+2)x}(e^{ax}-e^{a(n+2)x})}{e^{ax}-1}$

И как это решить?