Исследование функций на экстремум

[zoidberg]

1. $-\frac{1}{5}x_1^5-4x_2^2-\frac{1}{2}x_3^3+15 \rightarrow extr$
после проверки на полуопределенноть получается, что точка $x_0(0,0,0)$ может быть локальным максимумом, далее я рассмотрел функцию вдоль прямой и доказал что максимум не абсолютный, как доказать что он локальный?(или не является им)

2. $\int\limits_{1}^{e} (x-tx'^2) dt \rightarrow extr$; $x(1)=1; x(e)=2;$
пытался решить с помощью уравнения эйлера, но когда рассматривал $I(x_0+h)$ остался интеграл $\int\limits_{1}^{e} h dt $, который оценить нельзя(он же остается, если рассматривать $I(x_0+\alpha h)$(тут я еще не понял как применить условие трансверсальности). как его, собственно оценить, или как правильно применить условие трансверсальности?

[ewert]

zoidberg в сообщении #725708 писал(а):

как доказать что он локальный?(или не является им)

"Рассмотреть функцию вдоль прямой" (в окрестности критической точки).

[zoidberg]

ewert в сообщении #725716 писал(а):

zoidberg в сообщении #725708 писал(а):

как доказать что он локальный?(или не является им)

"Рассмотреть функцию вдоль прямой" (в окрестности критической точки).

то есть на знак производной в критической точке надо посмотреть?

[ewert]

Зачем производная? Просто посмотреть на функцию. Скажем, на её чётность/нечётность, если захочется ещё и формальностей.

[zoidberg]

ewert в сообщении #725725 писал(а):

Зачем производная? Просто посмотреть на функцию. Скажем, на её чётность/нечётность, если захочется ещё и формальностей.

ну я просто не могу ничего сказать по четности\нечетности, поэтому и спрашиваю про производную, хотел воспользоваться достаточным условием для экстремума

[ewert]

zoidberg в сообщении #725741 писал(а):

ну я просто не могу ничего сказать по четности\нечетности

Ну хорошо. А по монотонности можете чего-нибудь сказать? Например: функция $f(x)=x$ -- как у ней с монотонностью? Или даже так: какой знак имеет $x$ при $x>0$ и какой при $x<0$?...

[provincialka]

Достаточным условием экстремума воспользоваться не получится. Нет там его...

Вы видели когда-нибудь график функции $x^3$.

[zoidberg]

provincialka в сообщении #725764 писал(а):

Достаточным условием экстремума воспользоваться не получится. Нет там его...

Вы видели когда-нибудь график функции $x^3$.

видел конечно, можете мысль продолжить?

Цитата:

1) если при переходе через точку производная меняет знак с плюса на минус, то - точка максимума; 2) если при переходе через точку производная меняет знак с минуса на плюс, то - точка минимума; 3) если при переходе через точку производная не меняет знака, то в точке нет экстремума.

ну а почему воспользоваться нельзя? третий пункт как раз подходит вроде

[provincialka]

Ну, есть у нее в нуле экстремум? А ваша функция ведет себя по некоторым направлениям как $x^3, x^5$.

[zoidberg]

provincialka в сообщении #725781 писал(а):

Ну, есть у нее в нуле экстремум? А ваша функция ведет себя по некоторым направлениям как $x^3, x^5$.

ну мне все же надо не на глаз доказать

[Legioner93]

zoidberg в сообщении #725804 писал(а):

provincialka в сообщении #725781 писал(а):

Ну, есть у нее в нуле экстремум? А ваша функция ведет себя по некоторым направлениям как $x^3, x^5$.

ну мне все же надо не на глаз доказать

Вам предлагают рассмотреть приращение функции $f(\varepsilon,0,0)-f(0,0,0)$ (или по третьему аргументу).

-- Вс май 19, 2013 21:12:16 --

zoidberg в сообщении #725708 писал(а):

пытался решить с помощью уравнения эйлера, но когда рассматривал $I(x_0+h)$ остался интеграл $\int\limits_{1}^{e} h dt $, который оценить нельзя

А зачем вы рассматриваете этот интеграл ?
Рассматривайте вариацию $I(x_0+h)-I(x_0)$. Линейные слагаемые (по $h$ и $h'$), которые вы так стараетесь оценить, уйдут в силу уравнения Эйлера. Останется одно квадратичное слагаемое, я проверил.

[zoidberg]

Цитата:

Вам предлагают рассмотреть приращение функции $f(\varepsilon,0,0)-f(0,0,0)$ (или по третьему аргументу).

насколько я понял, у меня $x_0$ - это что-то типа седловой точки(может я и не прав), и в этом случае я могу рассматривать такие приращения до бесконечности. не проще ли уже будет воспользоваться достаточным условием и посмотреть на знак производной?

[Legioner93]

zoidberg в сообщении #725913 писал(а):

это что-то типа седловой точки(может я и не прав)

Правы, если имеете в виду классическое определение. Но ваше "что-то типа" и дальнейшее следствие

zoidberg в сообщении #725913 писал(а):

в этом случае я могу рассматривать такие приращения до бесконечности

показывает, что вы скорее всего имели в виду не это определение, а примерно такую картинку.

Тогда нет, вы не правы, у вас качественно другая картина. В определенном смысле проще, чем та. И советую вам не рассуждать на пустом месте, а просто взять и посчитать указанное приращение $f(\varepsilon,0,0)-f(0,0,0)$. Всё сами поймете (надеюсь).

zoidberg в сообщении #725913 писал(а):

не проще ли уже будет воспользоваться достаточным условием и посмотреть на знак производной?

Вы имеет в виду вычисление в явном виде второго дифференциала, который будет равен $-8dx^2 _2$? Это поможет, но лишь частично. Он показывает, что точка не является строгим экстремумом, но ничего не говорит про нестрогий экстремум.

[ewert]

zoidberg в сообщении #725913 писал(а):

насколько я понял, у меня $x_0$ - это что-то типа седловой точки(может я и не прав),

Вы не правы идеологически. Попытайтесь вспомнить, что вообще называется локальным экстремумом с чисто формальной точки зрения. Не всё поддаётся формальной классификации; но всё (или как минимум очень многое) поддаётся поддаётся элементарной логике -- стоит лишь только попробовать её применить.

[Ms-dos4]

zoidberg
А у вас там гессиан будет равен нулю (т.е. критическая точка вырождена), поэтому вторые (да и более высокие) производные не помогут тут. Проще всего сделать так, как вам указала provincialka.