Исследование функций на экстремум

[Legioner93]

Ms-dos4 в сообщении #725922 писал(а):

А у вас там гессиан будет равен нулю (т.е. критическая точка вырождена), поэтому вторые (да и более высокие) производные не помогут тут.

Неправда, уже третьи помогут.
$\Delta y=-\frac{8}{2!}dx^2_2 -\frac{3}{3!}dx_3 ^3 + o(r^3)$. Отсюда сразу следует всё.

Да, в данном случае такое разложение можно получить и без производных, тупо подставив $dx_i$ в функцию. Но говорить, что производные не помогают - принципиально неверно. Тем более говорить, что это следует из равенства нулю гессиана - он "относится" только ко вторым производным. В случае более сложной функции только производные высоких порядков и помогут получить такое разложение, а после и ответ.

[zoidberg]

Legioner93 в сообщении #725918 писал(а):

zoidberg в сообщении #725913 писал(а):

это что-то типа седловой точки(может я и не прав)

Правы, если имеете в виду классическое определение. Но ваше "что-то типа" и дальнейшее следствие

zoidberg в сообщении #725913 писал(а):

в этом случае я могу рассматривать такие приращения до бесконечности

показывает, что вы скорее всего имели в виду не это определение, а примерно такую картинку.

Тогда нет, вы не правы, у вас качественно другая картина. В определенном смысле проще, чем та. И советую вам не рассуждать на пустом месте, а просто взять и посчитать указанное приращение $f(\varepsilon,0,0)-f(0,0,0)$. Всё сами поймете (надеюсь).

zoidberg в сообщении #725913 писал(а):

не проще ли уже будет воспользоваться достаточным условием и посмотреть на знак производной?

Вы имеет в виду вычисление в явном виде второго дифференциала, который будет равен $-8dx^2 _2$? Это поможет, но лишь частично. Он показывает, что точка не является строгим экстремумом, но ничего не говорит про нестрогий экстремум.

хорошо, теперь убедили, спасибо.

Цитата:

zoidberg в сообщении #725708 писал(а):

пытался решить с помощью уравнения эйлера, но когда рассматривал $I(x_0+h)$ остался интеграл $\int\limits_{1}^{e} h dt $, который оценить нельзя

А зачем вы рассматриваете этот интеграл ?
Рассматривайте вариацию $I(x_0+h)-I(x_0)$. Линейные слагаемые (по $h$ и $h'$), которые вы так стараетесь оценить, уйдут в силу уравнения Эйлера. Останется одно квадратичное слагаемое, я проверил.

ну мне надо доказать, что найденная экстремаль единственная, и что она доставляет максимум или минимум

[Legioner93]

zoidberg в сообщении #725939 писал(а):

надо доказать, что найденная экстремаль единственная

Необходимое условие - каждое решение данной вариационной задачи должно удовлетворять уравнению Эйлера. Если решив соответствующий диффур и приложив граничные условия вы получили одну функцию, то других нет. Решение - либо эта функция, либо вообще пустое множество.

zoidberg в сообщении #725939 писал(а):

что она доставляет максимум или минимум

Выпишите вариацию $I(x_0 +h) - I(x_0)$. Сюда. Вы получили одно слагаемое, о котором я говорил?

[zoidberg]

Legioner93 в сообщении #725946 писал(а):

zoidberg в сообщении #725939 писал(а):

надо доказать, что найденная экстремаль единственная

Необходимое условие - каждое решение данной вариационной задачи должно удовлетворять уравнению Эйлера. Если решив соответствующий диффур и приложив граничные условия вы получили одну функцию, то других нет. Решение - либо эта функция, либо вообще пустое множество.

zoidberg в сообщении #725939 писал(а):

что она доставляет максимум или минимум

Выпишите вариацию $I(x_0 +h) - I(x_0)$. Сюда. Вы получили одно слагаемое, о котором я говорил?

у меня остается 4 слагаемых, 3 интегрируются, а одно из них это интеграл от h

[Legioner93]

zoidberg в сообщении #725975 писал(а):

у меня остается 4 слагаемых, 3 интегрируются, а одно из них это интеграл от h

Напишите сюда все ваши слагаемые, или так и будем по капле в час? Экстрасенсов тут нет, а выписать эти слагаемые за вас мне запрещают правила и личные мотивы.
Интеграл пишется так: (просто наведите мышкой на формулу) $\int\limits_{a}^{b}f(x)dx$.

И да, не злоупотребляйте цитированием, здесь так нельзя.

[zoidberg]

Legioner93 в сообщении #725985 писал(а):

Напишите сюда все ваши слагаемые, или так и будем по капле в час? Экстрасенсов тут нет.
Интеграл пишется так: (просто наведите мышкой на формулу) $\int\limits_{a}^{b}f(x)dx$.

И да, не злоупотребляйте цитированием, здесь так нельзя.

$\int\limits_{1}^{e}hdx - \int\limits_{1}^{e}2xy_o'dx - \int\limits_{1}^{e}xh'^2dx - \int\limits_{1}^{e}2xy_0'h'dx$

[Legioner93]

Откуда взялись игреки, когда функция от $x$ и $t$? Ну да ладно. Второго слагаемого не должно быть, остальные правильно. Как вы его получили? Проверьте.

[zoidberg]

Legioner93 в сообщении #725995 писал(а):

Откуда взялись игреки, когда функция от $x$ и $t$? Ну да ладно. Второго слагаемого не должно быть, остальные правильно. Как вы его получили? Проверьте.

я просто по инерции t на х и x на y поменял.
а второе слагаемое вполне на месте, половина выходит из $I(x_0+h)$, половина из $I(x_0)$

[Legioner93]

zoidberg в сообщении #726000 писал(а):

я просто по инерции t на х и x на y поменял.
а второе слагаемое вполне на месте, половина выходит из $I(x_0+h)$, половина из $I(x_0)$

Возможно плохо поменяли. Проверяйте арифметику. Напомню, мы расписываем $I(x_0+h)-I(x_0)$.

[zoidberg]

Legioner93 в сообщении #726001 писал(а):

zoidberg в сообщении #726000 писал(а):

я просто по инерции t на х и x на y поменял.
а второе слагаемое вполне на месте, половина выходит из $I(x_0+h)$, половина из $I(x_0)$

Возможно плохо поменяли. Проверяйте арифметику. Напомню, мы расписываем $I(x_0+h)-I(x_0)$.

теперь заметил, что минус превратился в плюс
$\int\limits_{1}^{e}hdx - \int\limits_{1}^{e}xh'^2dx - \int\limits_{1}^{e}2xy_0'h'dx$

[Legioner93]

Правильно. Как смогли преобразовать это выражение?

[zoidberg]

Legioner93 в сообщении #726005 писал(а):

Правильно. Как смогли преобразовать это выражение?

я его не преобразовывал, потому что не знаю что придумать с $\int\limits_{1}^{e}hdx$, остальные слагаемые должны интегрироваться(точнее, их можно оценить)

[Legioner93]

zoidberg в сообщении #726009 писал(а):

остальные слагаемые должны интегрироваться

Это каким образом?! Покажите, пожалуйста.

-- Пн май 20, 2013 01:26:45 --

Вы добавили:

zoidberg в сообщении #726009 писал(а):

(точнее, их можно оценить)

Тот же вопрос. Каким образом вы оценили третье слагаемое? Не представляю, как оценить первое и третье слагаемое по отдельности. А вот их вместе... Да и не только оценить, но и... Между прочим, про это я уже говорил в первом сообщении.

[zoidberg]

Legioner93 в сообщении #726012 писал(а):

Тот же вопрос. Каким образом вы оценили третье слагаемое? Не представляю, как оценить первое и третье слагаемое по отдельности. А вот их вместе... Да и не только оценить, но и... Между прочим, про это я уже говорил в первом сообщении.

долго думал, но не получилось с ними(вместе) ничего сделать, в производную от произведения там никак не сложить, под дифференциал внести - тоже ерунда какая-то, что с ним сделать-то?

[Legioner93]

$$J=\int\limits_{a}^{b} F(x,y,y')dx$$

$$J(\hat{y}+\eta)-J(\hat{y})=\Delta J(\hat{y})=\int\limits_{a}^{b} \eta F'_y dx + \int \limits_{a}^{b}\eta' F'_{y'} dx + o(\lVert \eta \rVert)=\int\limits_{a}^{b}\eta F'_y dx+ \left. \eta F'_{y'} \right|_{b}^{a} - \int \limits_{a}^{b} \eta\dfrac{d}{dx}F'_{y'} dx + o(\lVert \eta \rVert)$$

$$\Delta J(\hat{y}) = \int \limits_{a}^{b} \eta \left( F'_y - \dfrac{d}{dx}F'_{y'}\right)dx + o(\lVert \eta \rVert)$$

Это для произвольной $\hat{y}$. А нас она особенная... Чему удовлетворяет?
Впрочем, советую вам не верить мне на слово, а проделать эту операцию для вашей конкретной $F(x,y,y')$ (то есть проинтегрировать по частям третье слагаемое).