Маленькое упражнение по уравнению Шрёдингера

[Munin]

Волновая функция (по крайней мере, в квазиклассическом приближении) может быть интерпретирована как сочетание двух функций: амплитуды и фазы - имеющих раздельные физические смыслы. Амплитуда отвечает за плотность вероятности, а фаза - за энергию и импульс. Попробую придать этому более точный смысл.

Начнём с уравнения Шрёдингера свободной частицы

$$i\hbar\dfrac{\partial\Psi}{\partial t}=\dfrac{-\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi$$

и представим волновую функцию через модуль и аргумент:

$$\Psi=\mathit{\Psi}e^{i\varphi}$$

Тогда для взятия производных выпишем дифференциал:

$$d\Psi=e^{i\varphi}d\mathit{\Psi}+i\mathit{\Psi}e^{i\varphi}d\varphi$$

и после выкладок получаем (окончательно комплексное уравнение распадается на действительную и мнимую части, поскольку обе функции действительны):

$$\hbar\dfrac{\partial\mathit{\Psi}}{\partial t}=\dfrac{-\hbar^2}{2m}(2\nabla\mathit{\Psi}\nabla\varphi+\mathit{\Psi}\nabla^2\varphi)$$

$$-\hbar\dfrac{\partial\varphi}{\partial t}=\dfrac{-\hbar^2}{2m}\left(\dfrac{\nabla^2\mathit{\Psi}}{\mathit{\Psi}}-(\nabla\varphi)^2\right)$$

Посмотрим на первое уравнение, задающее $\partial\mathit{\Psi}/\partial t.$
- Первый его член соответствует переносу амплитуды ($\nabla\mathit{\Psi}$) с током вероятности, задаваемым $\nabla\varphi.$
- Второй член соответствует "собиранию", "скапливанию" амплитуды в тех местах, где скорость потока меняется ($\nabla^2\varphi$).
Теперь второе уравнение, задающее $\partial\varphi/\partial t.$
- Второе слагаемое отвечает за изменение фазы соответственно кинетической энергии для бегущей волны.
- Первое слагаемое - аналогично, отвечает за изменение фазы, но для случая кинетической энергии стоячей волны.

Если в уравнение Шрёдингера добавить потенциал, то это приводит к изменению только уравнения для фазы:

$$-\hbar\dfrac{\partial\varphi}{\partial t}=\dfrac{-\hbar^2}{2m}\left(\dfrac{\nabla^2\mathit{\Psi}}{\mathit{\Psi}}-(\nabla\varphi)^2\right)+U$$

Вопросы:
- не напортачил ли я в выкладках?
- годится ли такая интерпретация?
- можно ли аналогично рассмотреть уравнение Дирака?

-- 15.05.2013 16:15:09 --

Раз нам понадобилось представление о "текущем потоке вероятности", попробуем воспринять его буквально. Рассмотрим эволюцию волновой функции как материальный поток вещества, и отследим, что происходит в точках, уносимых этим потоком. Для этого используется "субстанциональная производная", для которой мы должны сначала найти, собственно, скорость потока. Возьмём оператор скорости (ЛЛ-3 (19.1)):

$$\hat{\mathbf{v}}=\dfrac{\hat{\mathbf{p}}}{m}=\dfrac{-i\hbar\nabla}{m}$$

$$\hat{\mathbf{v}}\Psi=\dfrac{\hbar}{m}e^{i\varphi}\left(-i\nabla\mathit{\Psi}+\mathit{\Psi}\nabla\varphi\right)$$

Это пока результат действия оператора скорости на волновую функцию. Для собственной функции оператора, он должен быть пропорционален самой функции с коэффициентом - величиной скорости, так что, чтобы найти величину скорости, делим его на функцию:

$$\dfrac{\hat{\mathbf{v}}\Psi}{\Psi}=\dfrac{\hbar}{m}\left(\dfrac{-i\nabla\mathit{\Psi}}{\mathit{\Psi}}+\nabla\varphi\right)$$

Теперь попытаемся его подставить по заданной схеме для скалярных величин (наши функции скалярны):

$$\dfrac{D\phi}{Dt}=\frac{\partial\phi}{\partial t}+(\mathbf{u}\cdot\nabla)\phi=\frac{\partial\phi}{\partial t}+(\mathbf{u}\cdot\nabla\phi)$$

Первая попытка у меня сталкивается с той трудностью, что уравнения для $\partial\mathit{\Psi}/\partial t$ и для $\partial\varphi/\partial t$ действительны, а значение скорости вводит мнимые слагаемые. Но поскольку эти уравнения исходно получены из одного комплексного уравнения разделением действительной и мнимой части, мнимые слагаемые просто переходят из одного уравнения в другое. Мой результат:

$$\hbar\dfrac{D\mathit{\Psi}}{Dt}=\dfrac{\hbar^2}{2m}\left(2\nabla\mathit{\Psi}\nabla\varphi-\mathit{\Psi}\nabla^2\varphi\right)$$

$$\hbar\dfrac{D\varphi}{Dt}=\dfrac{\hbar^2}{2m}\left(\dfrac{\nabla^2\mathit{\Psi}}{\mathit{\Psi}}+(\nabla\varphi)^2\right)-\dfrac{\hbar^2}{m}\dfrac{(\nabla\mathit{\Psi})^2}{\mathit{\Psi}^2}$$

Отличия от частных производных интересны. Некоторые слагаемые не исчезают (как я от них ожидал), но меняют знак. Появляется новое слагаемое.
Помогите интерпретировать результат.

[Утундрий]

Munin в сообщении #724204 писал(а):

годится ли такая интерпретация?

Кажется, в "Принципах КМ" Дирака имеется что-то похожее.

Munin в сообщении #724204 писал(а):

можно ли аналогично рассмотреть уравнение Дирака?

Разве что чисто формально, в УД нет хорошо определённой плотности вероятности. Впрочем, надо освежить в памяти "КМ" Давыдова, он с такими штуками основательно возился, несколько параграфов кряду.

[warlock66613]

Утундрий в сообщении #724291 писал(а):

в УД нет хорошо определённой плотности вероятности

Зато есть плотность заряда.

[Munin]

Утундрий в сообщении #724291 писал(а):

Впрочем, надо освежить в памяти "КМ" Давыдова, он с такими штуками основательно возился, несколько параграфов кряду.

Спасибо за ссылку.

[zask]

Munin в сообщении #724204 писал(а):

Для этого используется "субстанциональная производная", для которой мы должны сначала найти, собственно, скорость потока. Возьмём оператор скорости (ЛЛ-3 (19.1)):

А может взять не скорость, а выражение для плотности потока?

[Munin]

zask в сообщении #724467 писал(а):

А может взять не скорость, а выражение для плотности потока?

А как из неё субстанциональную производную выражать?

[zask]

Munin в сообщении #724494 писал(а):

А как из неё субстанциональную производную выражать?

Не могу с ходу сказать. Тема очень интересная, но требует хорошего погружения. Но (извиняюсь, конечно, что несу с броневичка), интуиция подсказывает, что существование такой штуки не исключено.

[Kamaz]

Представление модуль-фаза интенсивно используется в теории конденсации бозе-газов. Вот здесь http://ufn.ru/ru/articles/1998/6/e/ можно почитать, как написать УШ с взаимодействтием в переменных модуль-фаза

[Munin]

Kamaz
А я-то думал, это пыльная обочина. Спасибо!

[Kamaz]

Меня, кстати, очень заинтересовал ваш вопрос о том, можно ли написать УД в таком представлении. Собственно, меня интересует не столько уравнение Дирака, сколько обобщение подхода модуль-фаза на случай уравнения Шредингера со спинорной волновой функцией. В физике конденсированного состояния сейчас изучаются бозе-конденсаты, со слагаемыми в гамильтониане типа взаимодействия спин-орбита. Собственно, даже атомные конденсаты в ловушках сейчас экспериментально создают такие, что в гамильтониан входят члены такого вида. Подход модуль-фаза имеет ряд преимуществ в описании таких систем (например, диаграммы различные в этом представлении не расходятся, топологические возбуждения типа вихрей удобнее изучать в этом подходе). Я пытался написать, например, для двухкомпонентной ВФ этот подход. Поскольку фаза для каждой компоненты в спиноре вроде как своя, это дает слагаемые в гамильтониане типа косинус от разности фаз нижней и верхней компоненты спинора. Что с ними делать, я так и не смог понять. ((

[Munin]

А интерпретировать их как движение точек (или несжимаемого потока?) по сфере Римана - не получается?

[zask]

Munin,
Сообщите результаты? Хотя бы промежуточные в общем виде.

[Munin]

Уже результаты? Я пока только идею предложил.

[Kamaz]

zask в сообщении #724986 писал(а):

Munin,
Сообщите результаты? Хотя бы промежуточные в общем виде.

а какие именно вас интересуют результаты? Гамильтониан? Могу предложить ссылку на работу, где такое сделано. Там, правда, не для спинорного конденсата, а для двух связанных конденсатов (поляритоны). Но смысл остается такой же - у каждой компоненты своя фаза

[zask]

Kamaz в сообщении #725122 писал(а):

а какие именно вас интересуют результаты? Гамильтониан? Могу предложить ссылку на работу, где такое сделано. Там, правда, не для спинорного конденсата, а для двух связанных конденсатов (поляритоны). Но смысл остается такой же - у каждой компоненты своя фаза

Тоже интересно. (Но там я имел в виду развитие идей Muninа.)