Маленькое упражнение по уравнению Шрёдингера

[amon]

По-моему, близкая вещь (а может и нет, тогда извиняюсь). Уравнение Шредингера (стационарное, либо после Фурье по $t$) можно переписать как $\operatorname{div}\mathbf{S}+\mathbf{S}^2=\omega-U$, где $\mathbf{S}=\frac{\nabla\psi}{\psi}$. В таком виде УШ позволяет построить сходящийся (по-настоящему, не асимптотически) ряд ТВ, и эта деятельность была модной лет ..дцать назад. Заглохло это в связи с тем, что так и не придумали, как этот трюк на поля перетянуть.

[maximav]

Мне кажется здесь можно ка-то на пальцах отбросить/забраковать эту группу. В галилеевской - то что выше - мы прямо имеем чисто мнимый фазовый множитель типа $\exp(i(kx+k^2t))$, что не вызывает проблем с физическими рассуждениями. А в этой группе посложнее, хотя видимо сложности только с глобальными свойствами $\psi$ как сечения расслоения. Локально тоже почти все и всюду гладко, да и $\psi$ - комплексная.

[Утундрий]

maximav в сообщении #1011763 писал(а):

$\psi_t=\psi_{xx}$

А что, можно так просто выбросить мнимую единицу?

[maximav]

Вставьте ее где надо: $x\mapsto i x$, $t\mapsto i t$. Алгебра по структуре не пострадает, а аналитика + вещественности - отдельный вопрос. Там наверно и сидят все запреты на формальное применение к квантмеху. Самое главное, что $\psi$ не скаляр и не галилеевское сечение, а что-то другое. Наверняка это кто-то где-то прописывал в литературе.

[Утундрий]

maximav в сообщении #1011793 писал(а):

Вставьте ее где надо: $x\mapsto i x$, $t\mapsto i t$. Алгебра по структуре не пострадает,

Интересные шляпки. Тогда, надо полагать, $u_{tt}+u_{xx}=0$ и $u_{tt}-u_{xx}=0$ имеют в точности одинаковые симметрии!

[maximav]

Формально не пострадает, а вот компактность-некомпактность групп рушатся. Но примерно про это я и высказывался, когда предполагал, что всякие аналитичности и существования для квантмеха здесь критичны. Хочется конечного ответа от спецов или ключевой наводки, после которой вопрос становится чисто техническим и неинтересным.