Вопрос-задача о переворачивании поездов

[StaticZero]

Доброго времени суток.

Я вот еще задумался над, как мне кажется, интересной задачей, а именно: почему переворачиваются поезда (автопоезда), если машинист (водитель) превысит максимально допустимую (= не приводящую к заваливанию на бок) скорость в кривой?

Вот так я пытаюсь рассуждать:

Будем условно считать, что масса вагона, едущего равномерно, однородна (то бишь забит доверху однородным материалом).
Масса вагона $m$, радиус кривизны $R$, скорость вагона $v$, высота вагона $h$, длина вагона $d$.

В повороте на поезд будут действовать сила трения на колеса, которая заставляет поворачивать и равна $\frac{mv^2}{R}$;


Нас интересуют только те, что действуют в поперечном направлении, поэтому, чтобы упростить себе жизнь, скажем, что вагон движется равномерно по окружности.

Теперь я думаю вот так. Самая нижняя точка колеса испытывает силу трения $\frac{mv^2}{R}$.
Если мы примем диаметр колеса достаточным, чтобы им можно было пренебречь, то получим, что низ вагона "тянет в поворот" сила трения. По мере подъема вверх к верхней точке вагона эффект от силы трения снижается, чем выше точка вагона - тем больше она стремится продолжить прямолинейное движение.

Тут у меня возникают такие вопросы: можно ли вагон (вертикальную ось вагона) представить как рычаг? Если можно, то где будет проходить ось рычага? В центре масс вагона, в нижней точке вагона или где-либо еще?

Я думаю, что можно, но вот где будет ось рычага я не могу понять: если в центре масс, тогда длина плеча равна $\frac{h}{2}$, если в нижней точке вагона на его вертикальной оси - тогда длина плеча рычага равна $h$, и момент на вращение будет составлять соответственно $\frac{mv^2h}{2R}$ и $\frac{mv^2h}{R}$.

Тут еще возникает вопрос: если вагон можно представить как рычаг, то тогда каков максимальный момент сил, когда вагон стоит на грани падения? На этот вопрос я только издалека поглядываю, но думаю, что переворачивающий момент сил будет увеличиваться с наклоном вагона, установится положительная обратная связь: больше наклон - больше момент сил - больше наклон - .... В качестве силы, увеличивающей момент на вращение вагона в поперечной оси, будет выступать сила тяжести той части вагона, которая будет "свисать" над дорогой, тогда получается, что $M = Fl = [\frac{mv^2}{R} + m_{x}g] \cdot \frac{h}{2}$, если ось рычага в барицентре вагона, и $M = Fl = [\frac{mv^2}{R} + m_{x}g] \cdot h$, если ось на нижней точки вертикальной оси вагона.

Вопрос: как определить, каков максимальный момент сил, который поставит вагон "на грань" падения? И от чего зависит устойчивость вагона в повороте?
При ответе на второй вопрос я для себя выделил такие пункты:
- от соотношения высоты и ширины;
- от распределения массы в вагоне;
- от скорости;
- от коэффициента трения (ибо $\frac{mv^2}{R}= \mu N$);
- от наклона вагона;
- от радиуса кривизны поворота.

Но как эти параметры связать в одно-несколько уравнений, опишущих движение вагона в повороте, я пока не понимаю.

Может вы подскажете какие-то аспекты или натолкнете на мысль?

PS Картинка

[zer0]

Нарисуй из ЦМ вектор влево mv^2/r и вектор вниз mg. Если [продолжение] суммарного вектора не пересечет нижнюю грань, вагон опрокинется.

[StaticZero]

Наверное, если пересечет, вы хотели сказать?

Тогда в данном случае можно решить так:
Поместим барицентр системы в начало координат (при том, что он находится в центре вагона).
Тогда высоты вагона пересекут ось Ox в точках $-\frac{d}{2}$ и $+\frac{d}{2}$, а длины - в точках $-\frac{h}{2}$ и $+\frac{h}{2}$.

Максимальное положение вектора суммы определяется углом наклона прямой, содержащей этот вектор, и оси Ох (пусть это угол альфа).
$\tg \alpha = \frac{\frac{h}{2}}{\frac{d}{2}} = \frac{h}{d}$. Но $\tg \alpha = \frac{mg}{\frac{mv^2}{R}} = \frac{gR}{v^2}$.
$\frac {gR}{v^2} = \frac {h}{d}; v^2 = \frac{gRd}{h}; v_{maximal}=\sqrt{\frac{gRd}{h}} = \sqrt{gR \cdot \ctg \alpha}$ (это при условии, если наполнение вагона однородно).

-- 14.05.2013, 22:38 --

Хотелось бы услышать еще мнение других форумчан, может, эта задача допускает и другие варианты решений?

[StaticZero]

Для случайного расположения барицентра системы задачу решил так:
Пусть $a$ - расстояние от нижнего края вагона до барицентра, $b$ -расстояние от (пусть будет от левого) края вагона.
Помещаем барицентр в начало отсчета.
$\tg \alpha = \frac{\frac{mv^2}{R}}{mg} = \frac{a}{b}; \frac{mv^2}{Rmg} = \frac{a}{b}; v_{maximal} = \sqrt{gR\frac{a}{b}}=\sqrt{gR\tg \alpha} = \sqrt{gR\frac{l}{h}$