2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вопрос-задача о переворачивании поездов
Сообщение14.05.2013, 20:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
Доброго времени суток.

Я вот еще задумался над, как мне кажется, интересной задачей, а именно: почему переворачиваются поезда (автопоезда), если машинист (водитель) превысит максимально допустимую (= не приводящую к заваливанию на бок) скорость в кривой?

Вот так я пытаюсь рассуждать:

Будем условно считать, что масса вагона, едущего равномерно, однородна (то бишь забит доверху однородным материалом).
Масса вагона $m$, радиус кривизны $R$, скорость вагона $v$, высота вагона $h$, длина вагона $d$.

В повороте на поезд будут действовать сила трения на колеса, которая заставляет поворачивать и равна $\frac{mv^2}{R}$;


Нас интересуют только те, что действуют в поперечном направлении, поэтому, чтобы упростить себе жизнь, скажем, что вагон движется равномерно по окружности.

Теперь я думаю вот так. Самая нижняя точка колеса испытывает силу трения $\frac{mv^2}{R}$.
Если мы примем диаметр колеса достаточным, чтобы им можно было пренебречь, то получим, что низ вагона "тянет в поворот" сила трения. По мере подъема вверх к верхней точке вагона эффект от силы трения снижается, чем выше точка вагона - тем больше она стремится продолжить прямолинейное движение.

Тут у меня возникают такие вопросы: можно ли вагон (вертикальную ось вагона) представить как рычаг? Если можно, то где будет проходить ось рычага? В центре масс вагона, в нижней точке вагона или где-либо еще?

Я думаю, что можно, но вот где будет ось рычага я не могу понять: если в центре масс, тогда длина плеча равна $\frac{h}{2}$, если в нижней точке вагона на его вертикальной оси - тогда длина плеча рычага равна $h$, и момент на вращение будет составлять соответственно $\frac{mv^2h}{2R}$ и $\frac{mv^2h}{R}$.

Тут еще возникает вопрос: если вагон можно представить как рычаг, то тогда каков максимальный момент сил, когда вагон стоит на грани падения? На этот вопрос я только издалека поглядываю, но думаю, что переворачивающий момент сил будет увеличиваться с наклоном вагона, установится положительная обратная связь: больше наклон - больше момент сил - больше наклон - .... В качестве силы, увеличивающей момент на вращение вагона в поперечной оси, будет выступать сила тяжести той части вагона, которая будет "свисать" над дорогой, тогда получается, что $M = Fl = [\frac{mv^2}{R} + m_{x}g] \cdot \frac{h}{2}$, если ось рычага в барицентре вагона, и $M = Fl = [\frac{mv^2}{R} + m_{x}g] \cdot h$, если ось на нижней точки вертикальной оси вагона.

Вопрос: как определить, каков максимальный момент сил, который поставит вагон "на грань" падения? И от чего зависит устойчивость вагона в повороте?
При ответе на второй вопрос я для себя выделил такие пункты:
- от соотношения высоты и ширины;
- от распределения массы в вагоне;
- от скорости;
- от коэффициента трения (ибо $\frac{mv^2}{R}= \mu N$);
- от наклона вагона;
- от радиуса кривизны поворота.

Но как эти параметры связать в одно-несколько уравнений, опишущих движение вагона в повороте, я пока не понимаю.

Может вы подскажете какие-то аспекты или натолкнете на мысль?

PS Картинка Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос-задача о переворачивании поездов
Сообщение14.05.2013, 20:46 


04/06/12
279
Нарисуй из ЦМ вектор влево mv^2/r и вектор вниз mg. Если [продолжение] суммарного вектора не пересечет нижнюю грань, вагон опрокинется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос-задача о переворачивании поездов
Сообщение14.05.2013, 21:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
Наверное, если пересечет, вы хотели сказать?

Тогда в данном случае можно решить так:
Поместим барицентр системы в начало координат (при том, что он находится в центре вагона).
Тогда высоты вагона пересекут ось Ox в точках $-\frac{d}{2}$ и $+\frac{d}{2}$, а длины - в точках $-\frac{h}{2}$ и $+\frac{h}{2}$.

Максимальное положение вектора суммы определяется углом наклона прямой, содержащей этот вектор, и оси Ох (пусть это угол альфа).
$\tg \alpha = \frac{\frac{h}{2}}{\frac{d}{2}} = \frac{h}{d}$. Но $\tg \alpha = \frac{mg}{\frac{mv^2}{R}} = \frac{gR}{v^2}$.
$\frac {gR}{v^2} = \frac {h}{d}; v^2 = \frac{gRd}{h}; v_{maximal}=\sqrt{\frac{gRd}{h}} = \sqrt{gR \cdot \ctg \alpha}$ (это при условии, если наполнение вагона однородно).

-- 14.05.2013, 22:38 --

Хотелось бы услышать еще мнение других форумчан, может, эта задача допускает и другие варианты решений?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос-задача о переворачивании поездов
Сообщение15.05.2013, 17:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
Для случайного расположения барицентра системы задачу решил так:
Пусть $a$ - расстояние от нижнего края вагона до барицентра, $b$ -расстояние от (пусть будет от левого) края вагона.
Помещаем барицентр в начало отсчета.
$\tg \alpha = \frac{\frac{mv^2}{R}}{mg} = \frac{a}{b}; \frac{mv^2}{Rmg} = \frac{a}{b}; v_{maximal} = \sqrt{gR\frac{a}{b}}=\sqrt{gR\tg \alpha} = \sqrt{gR\frac{l}{h}$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group