Лемма из теории решета [Теория чисел]

[Whitaker]

Добрый вечер, уважаемые друзья!

Пусть целым положительным

$$\delta=\delta_1, \delta_2, \dots, \delta_n$$

отвечают любые вещественные или комплексные $f=f_1, f_2, \dots, f_n.$ Тогда, обозначая символом $S'$ сумму значений $f$, отвечающих значениям $\delta$, равным $1$, и символом $S_d$ сумму зачений $f$, отвечающих значениями $\delta$, кратным $d$, будем иметь

$$S'=\sum \mu(d)S_d,$$

где $d$ пробегает все целые положительные числа, делящие хоть одно значение $\delta$.

Доказательство: Действительно, так как

$$\sum \limits_{d\mid n}\mu(d) = \begin{cases} 1, & \text{если }n=1 \\ 0, & \text{если }n>1 \end{cases}$$

мы получаем, что

$$S'=f_1\sum \limits_{d\mid \delta_1}\mu(d)+f_2\sum \limits_{d\mid \delta_2}\mu(d)+\dots+f_n\sum \limits_{d\mid \delta_n}\mu(d).$$

Собирая же вместе члены с одним и тем же значением $d$ и вынося при это $\mu(d)$ за скобки, в скобках получим сумму тех и только тех $f$, у которых соответствующие им $\delta$ кратны $d$, а это и есть $S_d$.

Возник следующий вопрос: почему написано, что

Цитата:

$d$ пробегает все целые положительные числа, делящие хоть одно значение $\delta$.

Внимательно прочитав доказательство, то получаем, что $d$ пробегает делители чисел $\delta_1, \delta_2, \dots, \delta_n.$ Но ведь то, что написано в книге и я написал это ведь две разные вещи?! В книге сказано, что "хоть одно", а у меня получается, что "все".
Помогите разобраться.

[iifat]

Абсолютно одинаковые вещи. Или я не Винни-Пух. А я — он, значит, всё в порядке.
Обратите внимание, "все" в вашей цитате тоже присутствует.

[Whitaker]

Почему то, что в книге и у меня это одинаковые вещи?
Например. Возьми хотя бы одно яблоко из шести, это значит взять либо 1, либо 2, либо 3, либо 4, либо 5, либо 6.
Взять все яблоки это значит, что взять все 6 яблок.
Возможно я Вас не понял

[iifat]

Вот ваша цитата:

Цитата:

$d$ пробегает все целые положительные числа, делящие хоть одно значение $\delta$

Слово "все" видите? Я его специально выделил. "Пробегает все" и "пробегает каждого" — синонимы.

[Whitaker]

iifat
Но ведь $\delta=\delta_1, \delta_2, \dots, \delta_n.$
Ведь эта цитата из книги может означать все делители хоть одного $\delta$, например $\delta_1$, но ведь не всех $\delta_i$

[iifat]

Нет уж, вот как раз "все числа, делящие хотя бы одно из $\delta$" — это никак не множество делителей одной лишь $\delta_1$! Это, уверяю вас, объединение делителей всех $\delta_i$ и никак иначе.

[Whitaker]

Вот эту лемму можно применить для явного выражения функции Эйлера.

Числа $\delta$ и $f$ определеим так: пусть $x$ пробегает числа ряда

$$1,\ 2, \dots,\ a-1,\ a.$$

Каждому значению $x$ приведем в соответствие число $\delta=\text{gcd}(x,a)$ и число $f=1$.
Тогда $S'$ обратится в число значения $\delta=\text{gcd}(x,a)$, равных 1, т.е. в $\varphi(a)$. A $S_d$ обратится в число значений $\delta=\text{gcd}(x,a),$ кратных $d$. Но $\text{gcd}(x,a)$ может быть кратным $d$ лишь при условии, что $d$ - делитель числа $a$. При наличии же этого условия $S_d$ обратится в число значений $x$, кратных $d$, т.е. в $\left[\dfrac{a}{d}\right]=\dfrac{a}{d}$. И мы получим

$$\varphi(a)=\sum \limits_{d\mid a}\mu(d)\dfrac{a}{d}$$

Возникает такой вопрос: Почему там в суммирование стоит $d\mid a$? Мы ведь из условия теоремы должны взять $d$, которые являются делителями $\text{gcd}(1,a),\ \text{gcd}(2,a), \cdots,\ \text{gcd}(a,a) $.
Объясните пожалуйста этот момент.

[Null]

делитель $\text{gcd}(x,a)$ является делителем $a$
И наоборот делитель $a$ является делителем $\text{gcd}(a,a)$