вопрос по теории групп

[sopor]

Раскладывается ли $\mathbb Q$ в прямое произведение? Если нет, то почему?

[lena7]

Покажите, что нетривиальные подгруппы $\mathbb Q$ имеют нетривиальное пересечение.

[Sonic86]

$\mathbb{Q}$ - это $\mathbb{Q}$ со сложением или с умножением?

[lena7]

$\mathbb Q$ не является группой по умножению. Без нуля -- является.

[Sonic86]

lena7 в сообщении #721904 писал(а):

$\mathbb Q$ не является группой по умножению. Без нуля -- является.

Мда, действительно

[lena7]

(Оффтоп)

А является ли $\mathbb Q^*$ прямым произведением (или прямой суммой) нетривиальных подгрупп? (Под прямой суммой я понимаю подгруппу прямого произведения, включающую только последовательности с конечным числом неединичных членов.)

Если взять подгруппы $\langle p\rangle=\{p^k\mid k\in \mathbb Z\}$ порождённые (положительными) простыми $p$ и $\langle -1\rangle=\{-1,1\}$, то вроде бы $\mathbb Q^*\simeq \langle -1\rangle \times \coprod_p \langle p\rangle$ (тут $\coprod$ -- прямая сумма). Или нет?

[Sonic86]

(Оффтоп)

lena7 в сообщении #721932 писал(а):

А является ли $\mathbb Q^*$ прямым произведением (или прямой суммой) нетривиальных подгрупп? (Под прямой суммой я понимаю подгруппу прямого произведения, включающую только последовательности с конечным числом неединичных членов.)

А так вроде нечестно: Вы переопределяете термин "прямое произведение", добавляя требование конечности числа неединичных членов Т.е. $\mathbb{Z}^+\times\mathbb{Z}^+\times\mathbb{Z}^+\times...$ - это тогда не прямое произведение. А может я вру: просто терминологию не помню.

lena7 в сообщении #721932 писал(а):

Если взять подгруппы $\langle p\rangle=\{p^k\mid k\in \mathbb Z\}$ порождённые (положительными) простыми $p$ и $\langle -1\rangle=\{-1,1\}$, то вроде бы $\mathbb Q^*\simeq \langle -1\rangle \times \coprod_p \langle p\rangle$ (тут $\coprod$ -- прямая сумма). Или нет?

В Вашем смысле да.

Кажется, можно сделать так: $\mathbb{Q}^{\times}\cong \langle -1\rangle\times\mathbb{Q}_+^{\times}\times\mathbb{Q}_+^{\times}$ 1-я компонента $\mathbb{Q}_+^{\times}$ - это все положительные рациональные числа, в разложение на множители которых входят только простые вида $3k+1$, а 2-я компонента - это все положительные рациональные числа, в разложение на множители которых входят только простые вида $3k-1$, а также $2$.

[Null]

Sonic86 в сообщении #721974 писал(а):

а также $2$

3?

[lena7]

(Оффтоп)

Sonic86 в сообщении #721974 писал(а):

Вы переопределяете термин "прямое произведение", добавляя требование конечности числа неединичных членов

Где? Термин "прямое произведение" устоявшийся и я его не трогаю. Я рассматриваю его подгруппу из финитных последовательностей и называю её прямой суммой (просто потому что это сумма в категории абелевых групп).

[Sonic86]

(Оффтоп)

Null в сообщении #721980 писал(а):

3?

Да Это меня глюкнуло.

lena7 в сообщении #721981 писал(а):

Где? Термин "прямое произведение" устоявшийся и я его не трогаю. Я рассматриваю его подгруппу из финитных последовательностей и называю её прямой суммой (просто потому что это сумма в категории абелевых групп).

Ну значит я не знаю терминологию