(Оффтоп)
А является ли

прямым произведением (или прямой суммой) нетривиальных подгрупп? (Под прямой суммой я понимаю подгруппу прямого произведения, включающую только последовательности с конечным числом неединичных членов.)
А так вроде нечестно: Вы переопределяете термин "прямое произведение", добавляя требование конечности числа неединичных членов

Т.е.

- это тогда не прямое произведение. А может я вру: просто терминологию не помню.
Если взять подгруппы

порождённые (положительными) простыми

и

, то вроде бы

(тут

-- прямая сумма). Или нет?
В Вашем смысле да.
Кажется, можно сделать так:

1-я компонента

- это все положительные рациональные числа, в разложение на множители которых входят только простые вида

, а 2-я компонента - это все положительные рациональные числа, в разложение на множители которых входят только простые вида

, а также

.