2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 вопрос по теории групп
Сообщение10.05.2013, 11:54 
Аватара пользователя
Раскладывается ли $\mathbb Q$ в прямое произведение? Если нет, то почему?

 
 
 
 Re: вопрос по теории групп
Сообщение10.05.2013, 12:24 
Покажите, что нетривиальные подгруппы $\mathbb Q$ имеют нетривиальное пересечение.

 
 
 
 Re: вопрос по теории групп
Сообщение10.05.2013, 13:37 
$\mathbb{Q}$ - это $\mathbb{Q}$ со сложением или с умножением?

 
 
 
 Re: вопрос по теории групп
Сообщение10.05.2013, 13:55 
$\mathbb Q$ не является группой по умножению. Без нуля -- является.

 
 
 
 Re: вопрос по теории групп
Сообщение10.05.2013, 13:57 
lena7 в сообщении #721904 писал(а):
$\mathbb Q$ не является группой по умножению. Без нуля -- является.
Мда, действительно :-)

 
 
 
 Re: вопрос по теории групп
Сообщение10.05.2013, 14:53 

(Оффтоп)

А является ли $\mathbb Q^*$ прямым произведением (или прямой суммой) нетривиальных подгрупп? (Под прямой суммой я понимаю подгруппу прямого произведения, включающую только последовательности с конечным числом неединичных членов.)

Если взять подгруппы $\langle p\rangle=\{p^k\mid k\in \mathbb Z\}$ порождённые (положительными) простыми $p$ и $\langle -1\rangle=\{-1,1\}$, то вроде бы $\mathbb Q^*\simeq \langle -1\rangle \times \coprod_p \langle p\rangle$ (тут $\coprod$ -- прямая сумма). Или нет?

 
 
 
 Re: вопрос по теории групп
Сообщение10.05.2013, 17:16 

(Оффтоп)

lena7 в сообщении #721932 писал(а):
А является ли $\mathbb Q^*$ прямым произведением (или прямой суммой) нетривиальных подгрупп? (Под прямой суммой я понимаю подгруппу прямого произведения, включающую только последовательности с конечным числом неединичных членов.)
А так вроде нечестно: Вы переопределяете термин "прямое произведение", добавляя требование конечности числа неединичных членов :roll: Т.е. $\mathbb{Z}^+\times\mathbb{Z}^+\times\mathbb{Z}^+\times...$ - это тогда не прямое произведение. А может я вру: просто терминологию не помню.

lena7 в сообщении #721932 писал(а):
Если взять подгруппы $\langle p\rangle=\{p^k\mid k\in \mathbb Z\}$ порождённые (положительными) простыми $p$ и $\langle -1\rangle=\{-1,1\}$, то вроде бы $\mathbb Q^*\simeq \langle -1\rangle \times \coprod_p \langle p\rangle$ (тут $\coprod$ -- прямая сумма). Или нет?
В Вашем смысле да.

Кажется, можно сделать так: $\mathbb{Q}^{\times}\cong \langle -1\rangle\times\mathbb{Q}_+^{\times}\times\mathbb{Q}_+^{\times}$ :shock: 1-я компонента $\mathbb{Q}_+^{\times}$ - это все положительные рациональные числа, в разложение на множители которых входят только простые вида $3k+1$, а 2-я компонента - это все положительные рациональные числа, в разложение на множители которых входят только простые вида $3k-1$, а также $2$.

 
 
 
 Re: вопрос по теории групп
Сообщение10.05.2013, 17:32 
Sonic86 в сообщении #721974 писал(а):
а также $2$

3?

 
 
 
 Re: вопрос по теории групп
Сообщение10.05.2013, 17:33 

(Оффтоп)

Sonic86 в сообщении #721974 писал(а):
Вы переопределяете термин "прямое произведение", добавляя требование конечности числа неединичных членов

Где? Термин "прямое произведение" устоявшийся и я его не трогаю. Я рассматриваю его подгруппу из финитных последовательностей и называю её прямой суммой (просто потому что это сумма в категории абелевых групп).

 
 
 
 Re: вопрос по теории групп
Сообщение10.05.2013, 19:07 

(Оффтоп)

Null в сообщении #721980 писал(а):
3?
Да :-) Это меня глюкнуло.

lena7 в сообщении #721981 писал(а):
Где? Термин "прямое произведение" устоявшийся и я его не трогаю. Я рассматриваю его подгруппу из финитных последовательностей и называю её прямой суммой (просто потому что это сумма в категории абелевых групп).
Ну значит я не знаю терминологию :-)

 
 
 [ Сообщений: 10 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group