Хитрое уравнение

[frankenstein]

Здравствуйте, уважаемые форумчане.
Эта моя первая тема на этом форуме, я новичок и буду
рад вашим критикам и замечаниям. ;)
И конечно, буду надеяться на вашу помощь.
И вот сразу начинаю с проблемы ;).

Никак не получается решить это уравнение,
ввод новых переменных ничего не дал, пробовал решить
раскрыв скобки получил ответ 1, хотел спросить нет ли более
хитрого способа решения?

$ (x+1)^5 + (x-1)^5 = 32x $

заранее благодарен.

[ewert]

frankenstein в сообщении #721867 писал(а):

раскрыв скобки получил ответ 1

А остальные?...

[mihailm]

Еще раз раскройте скобки и покажите откуда единица взялась

[frankenstein]

Если честно, то я не раскрывал скобок и не решал громоздким способом,
поленился , просто подумал, подставил 1 и получил верное равенство,
а никаких идей решения не нашел.

[ewert]

frankenstein в сообщении #721873 писал(а):

я не раскрывал скобок и не решал громоздким способом,

Он ничуть не громоздкий, если знать треугольник Паскаля -- мгновенно получится биквадратное уравнение.

[frankenstein]

ewert в сообщении #721876 писал(а):

frankenstein в сообщении #721873 писал(а):

я не раскрывал скобок и не решал громоздким способом,

Он ничуть не громоздкий, если знать треугольник Паскаля -- мгновенно получится биквадратное уравнение.

Можно поподробнее про это?

[Shtorm]

frankenstein, раскрываете скобки, а коэффициенты перед переменными являются числами из треугольника Паскаля. Читаем здесь http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D1% ... 0%BB%D1%8F

[Surtax]

Корня два это -1 и 1

[ИСН]

Если их больше, Вы съедите свой галстук?

[Ms-dos4]

Корней естественно 5 штук (как и говорит основная теорема алгебры), 3 действительных и пара комплексных сопряжённых
$\[{\lambda _{1,2}} = \pm 1\]$
$\[{\lambda _3} = 0\]$
$\[{\lambda _{4,5}} = \pm i\sqrt {11} \]$
Причём если уж ТС нашёл корень "1", то остальные два действительных находятся элементарно из нечётности функции.

[ИСН]

Ещё один резатель правды-матки. А топикстартеру что оставили?

[Legioner93]

Обозначим $y=(x+1)^5 + (x-1)^5 -32x$, $y \in C^{\infty}(-\infty,\infty)$
$y'''>0$, поэтому $y''=0$ имеет только один корень, это $x=0$, причем $y''(x<0)<0$, а $y''(x>0)>0$. Тогда $y'=0$ имеет не больше двух корней, и они определенно есть в силу того, что $y'(0)<0$, а $y'(\infty)>0$. Причём эти корни расположены симметрично в силу чётности ($-a$ и $a$). $y'(x<-a)>0$, $y'(-a<x<a)<0$, $y'(x>a)>0$. Поэтому $y=0$ имеет не больше трёх корней, которые и так очевидны: $0,-1,1$.

[ewert]

Проще скобки раскрыть.

[ShMaxG]

Еще можно доказать, что действительных корней при $x>1$ и $x<-1$ нет и сделать замену $x=\cos{\alpha}$. После некоторых простых тригонометрических преобразований ответ на руках... но это просто как вариант...

[provincialka]

Боже, какие сложности! Это, наверное, ТС виноват - назвал свое уравнение "хитрым". А оно решается "в лоб".

(Оффтоп)

а ларчик просто открывался