2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Хитрое уравнение
Сообщение10.05.2013, 12:55 
Здравствуйте, уважаемые форумчане.
Эта моя первая тема на этом форуме, я новичок и буду
рад вашим критикам и замечаниям. ;)
И конечно, буду надеяться на вашу помощь.
И вот сразу начинаю с проблемы ;).

Никак не получается решить это уравнение,
ввод новых переменных ничего не дал, пробовал решить
раскрыв скобки получил ответ 1, хотел спросить нет ли более
хитрого способа решения?

$
(x+1)^5 + (x-1)^5 = 32x
$

заранее благодарен.

 
 
 
 Re: Хитрое уравнение
Сообщение10.05.2013, 12:59 
frankenstein в сообщении #721867 писал(а):
раскрыв скобки получил ответ 1

А остальные?...

 
 
 
 Re: Хитрое уравнение
Сообщение10.05.2013, 13:00 
Еще раз раскройте скобки и покажите откуда единица взялась

 
 
 
 Re: Хитрое уравнение
Сообщение10.05.2013, 13:03 
Если честно, то я не раскрывал скобок и не решал громоздким способом,
поленился :oops:, просто подумал, подставил 1 и получил верное равенство,
а никаких идей решения не нашел.

 
 
 
 Re: Хитрое уравнение
Сообщение10.05.2013, 13:06 
frankenstein в сообщении #721873 писал(а):
я не раскрывал скобок и не решал громоздким способом,

Он ничуть не громоздкий, если знать треугольник Паскаля -- мгновенно получится биквадратное уравнение.

 
 
 
 Re: Хитрое уравнение
Сообщение10.05.2013, 13:09 
ewert в сообщении #721876 писал(а):
frankenstein в сообщении #721873 писал(а):
я не раскрывал скобок и не решал громоздким способом,

Он ничуть не громоздкий, если знать треугольник Паскаля -- мгновенно получится биквадратное уравнение.


Можно поподробнее про это?

 
 
 
 Re: Хитрое уравнение
Сообщение10.05.2013, 13:14 
Аватара пользователя
frankenstein, раскрываете скобки, а коэффициенты перед переменными являются числами из треугольника Паскаля. Читаем здесь http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D1% ... 0%BB%D1%8F

 
 
 
 Re: Хитрое уравнение
Сообщение10.05.2013, 19:30 
Корня два это -1 и 1

 
 
 
 Re: Хитрое уравнение
Сообщение10.05.2013, 19:37 
Аватара пользователя
Если их больше, Вы съедите свой галстук?

 
 
 
 Re: Хитрое уравнение
Сообщение10.05.2013, 19:41 
Корней естественно 5 штук (как и говорит основная теорема алгебры), 3 действительных и пара комплексных сопряжённых
$\[{\lambda _{1,2}} =  \pm 1\]$
$\[{\lambda _3} = 0\]$
$\[{\lambda _{4,5}} =  \pm i\sqrt {11} \]$
Причём если уж ТС нашёл корень "1", то остальные два действительных находятся элементарно из нечётности функции.

 
 
 
 Re: Хитрое уравнение
Сообщение10.05.2013, 19:48 
Аватара пользователя
Ещё один резатель правды-матки. :facepalm: А топикстартеру что оставили?

 
 
 
 Re: Хитрое уравнение
Сообщение10.05.2013, 20:01 
Аватара пользователя
Обозначим $y=(x+1)^5 + (x-1)^5 -32x$, $y \in C^{\infty}(-\infty,\infty)$
$y'''>0$, поэтому $y''=0$ имеет только один корень, это $x=0$, причем $y''(x<0)<0$, а $y''(x>0)>0$. Тогда $y'=0$ имеет не больше двух корней, и они определенно есть в силу того, что $y'(0)<0$, а $y'(\infty)>0$. Причём эти корни расположены симметрично в силу чётности ($-a$ и $a$). $y'(x<-a)>0$, $y'(-a<x<a)<0$, $y'(x>a)>0$. Поэтому $y=0$ имеет не больше трёх корней, которые и так очевидны: $0,-1,1$.

 
 
 
 Re: Хитрое уравнение
Сообщение10.05.2013, 20:06 
Проще скобки раскрыть.

 
 
 
 Re: Хитрое уравнение
Сообщение11.05.2013, 00:58 
Аватара пользователя
Еще можно доказать, что действительных корней при $x>1$ и $x<-1$ нет и сделать замену $x=\cos{\alpha}$. После некоторых простых тригонометрических преобразований ответ на руках... но это просто как вариант...

 
 
 
 Re: Хитрое уравнение
Сообщение11.05.2013, 01:20 
Аватара пользователя
Боже, какие сложности! Это, наверное, ТС виноват - назвал свое уравнение "хитрым". А оно решается "в лоб".

(Оффтоп)

а ларчик просто открывался

 
 
 [ Сообщений: 33 ]  На страницу 1, 2, 3  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group