Хитрое уравнение

[ShMaxG]

Ну, ТС честно спросил

frankenstein в сообщении #721867 писал(а):

нет ли более
хитрого способа решения?

Вот мы ему и предлагаем более хитрые.

[Maik2013]

frankenstein

$$ (x+1^{5})+(x-1)^{5}=32x $$

Перенесем все в левую часть.

$$ (x+1)^5+(x-1)^5-32x=0 $$

Производим группировку.

$$ (x+1)^5+((x-1)^5-32x)=0 $$

Для возведения в степень воспользуемся биноминальной формулой.

$$ (x+1)^{5}+((x^5-5x^4+10x^3-10x^2+5x-1)-32x)=0 $$

Раскрываем скобки.

$$ (x+1)^5+(x^5-5x^4+10x^3-10x^2+5x-1-32x)=0 $$

Приводим подобные члены.

$$ (x+1)^5+(x^5-5x^4+10x^3-10x^2-27x-1)=0 $$

$$ (x+1)^5+(x^4-6x^3+16x^2-26x-1)(x+1)=0 $$

$$ (x+1)^5(x+1)+(x^4-6x^3+16x^2-26x-1)(x+1)=0 $$

Выносим общий множитель.

$$ ((x+1)^{5}+(x^4-6x^3+16x^2-26x-1))(x+1)=0 $$

Для возведения в степень воспользуемся биноминальной формулой.

$$ ((x^4+4x^3+6x^2+4x+1)+(x^4-6x^3+16x^2-26x-1))(x+1)=0 $$

Раскрываем скобки.

$$ (x^4+4x^3+6x^2+4x+1+x^4-6x^3+16x^2-26x-1)(x+1)=0 $$

Приводим подобные члены.

$$ (2x^4-2x^3+22x^2-22x)(x+1)=0 $$

Теперь решение исходного уравнения разбивается на отдельные случаи.
Случай 1.

$$ 2x^4-2x^3+22x^2-22x=0 $$

Следующее уравнение равносильно предыдущему.

$$ x^4-x^3+11x^2-11x=0 $$

Решаем уравнение методом разложения на множители.
Выносим общий множитель.

$$ x(x^3-x^2+11x-11)=0 $$

Теперь решение исходного уравнения разбивается на отдельные случаи.
Случай 1.1.

$$ x=0 $$

Итак,ответ этого случая: $x=0$

Случай 1.2.

$$ x^3-x^2+11x-11=0 $$

Решаем уравнение методом разложения на множители.
Производим группировку.

$$ (x^3-x^2)+(11x-11)=0 $$

$$ x^2(x-1)+11(x-1)=0 $$

Выносим общий множитель.

$$ (x^2+11)(x-1)=0 $$

Теперь решение исходного уравнения разбивается на отдельные случаи.
Случай 1.2.1.

$$ x^2+11=0 $$

Перенесем известные величины в правую часть уравнения.

$$ x^2=-11 $$

Итак,ответ этого случая: нет решений

Случай 1.2.2.

$$ x-1=0 $$

Перенесем известные величины в правую часть уравнения.

$$ x=1 $$

Итак,ответ этого случая: $x=1$

Итак,ответ этого случая: $x=1$

Итак,ответ этого случая:$x=0;$ $x=1$

Случай 2.

$$ x+1=0 $$

Перенесем известные величины в правую часть уравнения.

$$ x=-1 $$

Итак,ответ этого случая: $x=-1$

Окончательный ответ: $x=-1;$ $x=0;$ $x=1$

[fedd]

Можно в 10 раз короче. Правую часть перекинем влево, раскроем скобки и получим полином:

$ x^5+10x^3-11x=0 $

$x(x^4+10x^2-11)=0$

Один корень x=0 нашли. Останется решить простое биквадратное уравнение:

$x^4+10x^2-11=0$

Но это уже сами.

[Deggial]

Maik2013, замечание за полное решение простой учебной задачи, и обращайте внимание на даты сообщений

[Pineapple]

Цитата:

$$ (x+1)^5(x+1)+(x^4-6x^3+16x^2-26x-1)(x+1)=0 $$

Выносим общий множитель.

$$ ((x+1)^{5}+(x^4-6x^3+16x^2-26x-1))(x+1)=0 $$

Почему тут показатель степени равен $5$, а не $4$?

[frankenstein]

Спасибо всем за разный подход и пробивание задачи с разных сторон .

[tatkuz1990]

Ничего нет хитрей и проще такого способа

[bot]

tatkuz1990 в сообщении #817971 писал(а):

Ничего нет хитрей и проще такого способа

И в чём же он состоит?

[provincialka]

Взять компьютерную рисовалку и нарисовать график функции.

[frankenstein]

tatkuz1990 в сообщении #817971 писал(а):

Ничего нет хитрей и проще такого способа

а если бы одним из корней было допустим 10^270, ваш метод бы, скорее программа не сработала.

[tatkuz1990]

Речь идет о конкретной задаче. Действительные корни найдены?

[bot]

Может быть и найдены, но Вы так и не сформулировали, в чём состоит Ваш метод. Если я правильно понял, а provincialka высказалась прямо - потыкать пальцем в клавиатуру, чтобы машина нарисовала график?

[tatkuz1990]

Графический метод решения уравнений такой же полноправный, как любой другой. Если им воспользоваться во много раз проще, почему бы и нет? В данном случае решения целочисленные, всегда можно подстановкой проверить.
Для другой задачи не всегда графика рациональна. Но, повторяю, речь сейчас идет о конкретном примере.

[Legioner93]

tatkuz1990 в сообщении #820866 писал(а):

В данном случае решения целочисленные, всегда можно подстановкой проверить.

Совершенно верно, 3 числа можно проверить подстановкой.
Но я пялюсь в ваш график уже минуту и никак не могу понять, куда делись ещё два корня. В условии-то полином пятой степени!
Покажите, куда именно нужно смотреть, раз вы уж настаиваете, что у вас полноценный метод.

-- Чт янв 30, 2014 23:41:11 --

Вдогонку. Как именно вы предлагаете строить график?
а) Если на компьютере (как вы и сделали), то зачем этот идиотский промежуточный этап в виде какого-то там рисунка, можно же сразу забить в любую систему компьютерной алгебры исходное уравнение! Она сразу корни выдаст, избавив страждущего от "чтения" графика.
б) Если руками на листочке. При построении всё равно так или иначе придётся угадать/найти корни -1, 0 и 1. Но это легко сделать и безотносительно построения графика.
А что делать дальше? Для построения нормального графика необходимо понять, как функция ведёт себя между этими точками. Где у неё (хотя бы примерно) максимумы и минимумы. Выпуклость, поведение на бесконечности. И прочий сопутствующий анализ.
Стоп, если мы всё это сделали, на кой чёрт нам теперь что-то рисовать?!

[TR63]

Legioner93 в сообщении #820881 писал(а):

никак не могу понять, куда делись ещё два корня. В условии-то полином пятой степени!

По теореме Ролля данное уравнение не может иметь более трёх действительных корней.