Построить многочастичный гамильтониан из одночастичного

[warlock66613]

Допустим, что у меня есть (на самом деле у меня и правда есть) одночастичный гамильтониан $\hat{H}=\hat{H}(\hat{p}, \vec{r})$
Также есть одночастичный базис $\left | \xi _ i \right \rangle $ и стандартным способом построенный из него многочастичный с прилагающимися к нему операторами рождения и уничтожения.
Как мне построить многочастичный гамильтониан (выраженный через операторы рождения и унижтожения)? Никак не могу сообразить...

[lucien]

Если взаимодействия между частицами нет, то многочастичный гамильтониан -- это сумма одночастичных.

[warlock66613]

lucien в сообщении #710948 писал(а):

Если взаимодействия между частицами нет, то многочастичный гамильтониан -- это сумма одночастичных.

Гм, ну да. Спасибо. Правда я в своей задаче теперь ещё больше запутался. Очевидно я спросил не то что мне на самом деле было надо. В общем, спасибо ещё раз, вы помогли мне сдвинуть ход мыслей, но (и) пока я не готов задать "правильный" вопрос.

[warlock66613]

Немного помучившись, я решил, что имеет смысл рассказать здесь, на форуме, что я пытаюсь сделать, полностью. Авось кто-нибудь что-нибудь посоветует. Правда, я не уверен, что раздел подходящий, т. к. это не совсем учебная задача (в том смысле что она не взята из какого-то учебника).

Итак, моя задача - решить задачу о туннелировании (рассчитать прозрачность барьера), используя формализм, обычно применяющийся в КТП. Отправная точка - одноэлектронный гамильтониан $H = -\frac {\hbar^2}{2m} \frac {\partial^2}{\partial x^2} + U(x)$.



Итак, вот что я делаю. Вначале я разделяю область на три несвязанных прямоугольных ямы с бесконечно высокими стенками и для каждой ямы нахожу стационарные электронные состояния $\psi_{1, 2, 3, \ldots}^{L, C, R}(x)$. Таким образом, я получаю ортонормированный набор одноэлектронных волновых функций, который я использую для построения пространства Фока. И тут я сталкиваюсь с первой трудностью (на ней я пока и засел) - набор неполный! Пока я рассматриваю три раздельных ямы это нормально, но следующим этапом по моему плану идёт "объединение" ям (возвращение к исходной задаче). При этом мне надо, используя имеющееся пространство Фока, построить многоэлектронный гамильтониан $\hat{H}$ (действующий в этом пространстве) из одноэлектронного $H$. Очевидно, вначале для этого надо найти матричные элементы одноэлектронного гамильтониана $\left\langle \psi_i^A \right| H \left| \psi_k^B \right\rangle$.

И вот тут в одном месте я упираюсь в несколько взаимосвязанных проблем: 1) набор одноэлектронных функций неполный, т. к. нет ни одной функции, необращающейся в ноль при $x = \pm a$ (я не уверен действительно ли это проблема, но выглядит нехорошо); 2) из-за тета-функций (которые ограничивают решения внутри "своей" ямы) появляются дельта-функции, да ещё и с совпадающими аргументами - надо это всё регуляризировать, но как именно - не вполне понятно (возможны варианты - подвигать туда-сюда концы обрезаний, или сделать обрезания плавными, или ещё как (и при любом варианте "сбивается" ортонормировка)); 3) есть предчувствие, что если ничего не предпринять (не модифицировать базис), то "перекрытие" функций (точнее "межямные" матричные элементы) будут неправильными (малыми).

Что делать и как всё это преодолевать я пока не могу придумать. То ли как-то модифицировать базис, то ли надо как-то по-другому разбивать задачу на "первоначально несвязанные" области (например, модифицировать граничные условия), то ли переходить к фурье-образам и мудрить с ними.

[rotozeev]

Не совсем понятно, что же нужно сделать. Я, сразу скажу, не специалист в вопросах квантовой механики, но вот, что я думаю.

Во первых, какие энергии у частиц? Больше или меньше энергии барьера? Есть ли какие то сильные неравенства? То есть туннелирование (или надбарьерное прохождение) - это редкий или частый процесс?

Если туннелирование слабое, то, как мне видится, можно записать гамильтониан в примерно таком виде:
$H = \sum_{k,i}a^+_{k,i}a_{k,i} + t\sum_k a^+_{k,l}a_{k,r} + t\sum_k a^+_{k,r}a_{k,l}$

тут первое слагаемое отвечает за энергию частиц в обеих ямах, $k$ - импульс (энергия) в отдельно взятой правой или левой яме, $i=l, r$ - левая или правая яма
два остальных слагаемых отвечают за переходы между ямами, $t$ - амплитуда туннелирования.

[warlock66613]

rotozeev в сообщении #721364 писал(а):

Если туннелирование слабое, то, как мне видится, можно записать гамильтониан в примерно таком виде:
$H = \sum_{k,i}a^+_{k,i}a_{k,i} + t\sum_k a^+_{k,l}a_{k,r} + t\sum_k a^+_{k,r}a_{k,l}$

Туннелирование слабое. Да, мне тоже так видится примерно так. Вопрос как раз в том, чему равно $t$?

[rotozeev]

warlock66613 в сообщении #721389 писал(а):

rotozeev в сообщении #721364 писал(а):

Если туннелирование слабое, то, как мне видится, можно записать гамильтониан в примерно таком виде:
$H = \sum_{k,i}a^+_{k,i}a_{k,i} + t\sum_k a^+_{k,l}a_{k,r} + t\sum_k a^+_{k,r}a_{k,l}$

Туннелирование слабое. Да, мне тоже так видится примерно так. Вопрос как раз в том, чему равно $t$?

Мое предположение:

$t\approx \frac{4a}{b-a}\frac{E^2}{U-E}\exp (-\sqrt{2m(U-E)/\hbar^2})$

То есть, для разных состояний t в общем случае будет разным.

Эта формула получена из предположения, что систему можно описать суперпозицией двух ям, каждая из которых имеет одну бесконечно высокую стенку, а другую - конечную, высоты U. Тогда в области с конечной потенциальной энергией волновая функция экспоненциально затухает, но все таки не нуль. Осталось только наложить друг на друга два этих затухания от левой и правой ямы и взять интеграл перекрытия. Сразу скажу, что таких задач я не решал и опыта нет, только наитие.