Асимптотическая плотность послед-ности и гипотезы о простых

[vicvolf]

Некоторые форумчане скажут - опять он занудничает со своей плотностью последовательности Потерпите немного, скоро обсудим...

Продолжим рассматривать плотность последовательности, как доли натурального ряда чисел. Будем рассматривать последовательности, которые принимают значения только из натурального ряда.
Обозначим количество членов последовательности $f(n)$ на интервале [A,B) (B>A) натурального ряда $\pi(f,A,B)$ и рассмотрим плотность, как долю членов последовательности $f(n)$ в последовательности натурального ряда на интервале [A,B):
$P(f,A,B)=\frac {\pi(f,A,B)} {B-A}.$(1)
По аналогии (1) введем понятие плотности последовательности на бесконечном интервале натурального ряда [$A,\infty$), так называемую асимптотическую плотность:
$P(f,A,\infty)=\lim \limits_{x \to \infty} { \frac {\pi(f,A,x)} {x-A} },$(2)
или $P(f,A,x)\sim \frac {\pi(f,a,x)} {x-A},$(3)
где $\pi(f,A,x)$ - количество членов последовательности $f(n)$ на интрвале [$A,x$) натурального ряда.
Покажем, что для введенной таким образом асимптотической плотности последовательности (2), (3), выполняются свойства вероятностной меры.
1. Если последовательность $f(n)$ совпадает с натуральным рядом на интервале [$A,\infty$), то:
$P(f,A,x)=\lim \limits_{x \to \infty} { \frac {\pi(f,A,x)} {x-A} }=\lim \limits_{x \to \infty} { \frac {x-A} {x-A} }=1.$
2. Для любой последовательности $f(n)$, которая принимает значения только из натурального ряда на интервале [$A,\infty$):
$P(f,A,x)=\lim \limits_{x \to \infty} { \frac {\pi(f,A,x)} {x-A} }\geq 0$,
так как числитель принимает только неотрицательные значения, а знаменатель -положительные (по определению x>A).
3. Покажем счетную аддитивность- для последовательностей $f_1,f_2,...f_n,...$, являющихся долей натурального ряда на интервале [$A,\infty$), не имеющих общих членов, выполняется:
$P(f_1+f_2+...+f_n+...)=P(f_1)+P(f_2)+...+P(f_n)+...$.

Сначала докажем.
Пусть имеются две последовательности $f(n),g(n)$ на интервале натурального ряда [$A,\infty$), тогда:
$P(f+g,A,\infty)=\lim \limits_{x \to \infty} {P(f,A,x)}+\lim \limits_{x \to \infty} {P(g,A,x)}-\lim \limits_{x \to \infty} {P(f \cap g,A,x)},(4)$ или
$P(f+g,A,\infty) \sim P(f,A,x)+P(g,A,x)-P(f \cap g,A,x),(5)$
где $P(f \cap g,A,x)$ - плотность общих членов обеих последовательностей на интервале [$A,x$) натурального ряда.

Доказательство
На основании определения (1) имеем:
$P(f+g,A,\infty)=\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {\pi(f+g,A,x)} {x}}$
По формуле включений и исключений получаем:
$\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {\pi(f+g,A,x)} {x}}=\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {\pi(f,A,x)+\pi(g,A,x)-\pi(f \cap g,A,x)} {x}}=\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {\pi(f,A,x)} {x}}+\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {\pi(g,A,x)} {x}}-\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {\pi(f \cap g,A,x)} {x}}=\lim \limits_{x \to \infty} {P(f,A,x)}+\lim \limits_{x \to \infty} {P(g,A,x)}-\lim \limits_{x \to \infty} {P(f \cap g,A,x)},$
или $P(f+g,A,x) \sim P(f,A,x)+P(g,A,x)-P(f \cap g,A,x).$ ч.т.д.

Следствие 1
Если последовательности $f(n),g(n)$ не имеют общих членов, то на основании (4), (5) $P(f+g,A,x) \sim P(f,A,x)+P(g,A,x),$(6)
так как $\pi(f \cap g,A,x)=0$.

На основании следствия 1, используя определение сигма алгебры:
$f_n \in \sigma (n=1,2,...) \cup_n f_n \in \sigma, \cap_n f_n \in \sigma$, счетная аддитивность доказывается методом математической индукции.

Таким образом, асимптотическая плотность последовательности, как доли натурального ряда, является вероятностной мерой и для нее выполняются утверждения теории вероятности.

Следствие 2
Асимптотическая плотность последовательности простых чисел $f(n),$ на интервале натурального ряда [$A,\infty$) на основании асимптотического закона распределения простых чисел равна :
$P(f,2,x) \sim \frac {1} {\ln(x)},$(7)
поэтому на основании доказанных выше свойств асимптотической плотности последовательности (7) является вероятностной мерой.

Продолжение следует.

[vicvolf]

Продолжение

Докажем еще одно свойство, которое выполняется для асимптотической плотности последовательности, как доли натурального ряда на интервале [$A,\infty$).

4. Пусть имеются две последовательности $f(n),g(n)$ на интервале [$A,\infty$), тогда:
$\lim \limits_{x \to \infty} {P(f\cap g,A,x)} =\lim \limits_{x \to \infty} {P(f,A,x)} \cdot \lim \limits_{x \to \infty} {P(f \cap g/f,A,x)} ,(8)$

$P(f\cap g,A,x) \sim P(f,A,x) \cdot P(f \cap g/f,A,x) ,(9)$

где $P(f\cap g/f,A,x)-$ асимптотическая плотность общей последовательности $f\cap g$ в последовательности $f(n)$ на интервале [$A,\infty$), а $P(f,A,x)$ не равна 0.

Доказательство
На основании определения (1) асимптотической плотности $\lim \limits_{x \to \infty} {P(f\cap g/f,A,x)}= \lim \limits_{x \to \infty} {\frac {\pi(f\cap g/f,A,x)} {x}}.$
Преобразуем и при условии существования пределов получим:
$ \lim \limits_{x \to \infty}{\frac {\pi(f\cap g/f,A,x)} {x}}=\lim \limits_{x \to \infty}{\frac {\pi(f,A,x)} {x} \frac {\pi(f\cap g/f,A,x)} {\pi(f,A,x)}}=\lim \limits_{x \to \infty}{\frac {\pi(f,A,x)} {x}}\lim \limits_{x \to \infty}{\frac {\pi(f\cap g/f,A,x)} {\pi(f,A,x)}}=\lim \limits_{x \to \infty}{P(f,A,x)} \cdot \lim \limits_{x \to \infty}{P(f\cap g/f,A,x)}.$
Из определения асимптотики, это эквивалентно:
$P(f\cap g,A,x) \sim P(f,A,x) \cdot P(f \cap g/f,A,x)$
ч.т.д.

Свойство 4 аналогично формуле вероятности произведения двух зависимых событий A, B:
$P(A\cap B)=P(B) \cdot P(A/B),$(10)
где $P(A/B)$ - вероятность выполнения события A при условии выполнения события B, если события $A, B \in \sigma$ и P(B) не равно 0.

Из доказанных выше свойств 1-4 для асимптотической плотности последовательности, как доли натурального ряда, выводятся остальные свойства, анадогичные формулам теории вероятности (сложной вероятности, Байса и.т.д.).

Продолжение следует.

[tolstopuz]

vicvolf в сообщении #718887 писал(а):

3. Покажем счетную аддитивность- для последовательностей $f_1,f_2,...f_n,...$, являющихся долей натурального ряда на интервале [$A,\infty$), не имеющих общих членов, выполняется:
$P(f_1+f_2+...+f_n+...)=P(f_1)+P(f_2)+...+P(f_n)+...$.

Это утверждение неверно.
Пусть $f_1(i)=i^2$, $f_{n+1}(i)$ - наименьшее натуральное число, большее $f_n(i)$ и не попавшее в предыдущие последовательности. Довольно легко убедиться, что такое число найдется для любых $n$ и $i$, так как никакое конечное объединение последовательностей нулевой плотности не может покрыть весь натуральный ряд, а плотность $(n+1)$-й последовательности не превосходит плотность $n$-й, то есть также нулевая.
Каждая из этих последовательностей имеет плотность $0$, но их счетное объединение - весь натуральный ряд, имеющий плотность $1$.
Ошибку в ваших рассуждениях предлагаю найти самостоятельно.

[vicvolf]

Спасибо за контрпример. Вы правы. Асимптотическая плотность последовательности, как доли натурального ряда, обладает только конечной аддитивностью и поэтому является вероятностной мерой на конечном пространстве событий.

[vicvolf]

Продолжение

Многие гипотезы о простых числах доказываются из предположения, что распределение простых чисел случайно, точнее из предподложения о случайности события, что натуральное число х является простым числом.
Однако, для использования формул теории вероятности совершенно не обязательно доказывать случайность данного события. Достаточно доказать, что асимптотическая плотность последовательности является вероятностной мерой и обладает свойством 4, что было сделано выше.
Покажем это на некоторых гипотезах о простых числах.

1. Гипотезы Харди-Литлвуда и Диксона.
На основании следствия 2, доказанного выше, вероятность события $A_1$, что достаточно большое натуральное число х является простым числом равна $P(A_1)=1/\ln(x).$(11)
Вероятность события $A_2$, что натуральное число $x+2n_1$ является простым числом при условии, что натуральное число x является простым числом $P(A_2/A_1)>1/\ln(x),$ т.е равна $C/\ln(x), C > 1$, так как известно, что число х является простым числом, поэтому число $x+2n_1$ заведомо является нечетным.
На основании доказанных выше свойств вероятностной меры и свойства 4, используя формулу вероятности произведения зависимых событий:
$P(A_1 \cdot A_2)=P(A_1)P(A_2/A_1)=1/\ln(x) \cdot C/\ln(x)=C/\ln^2(x).$(12)
В частном случае при $n_1=1$ для простых близнецов в работе G.H.Hardy, E.M.Wright "An Introduction to the Theory of Numbers", 5th ed, Oxford, 1979,&22.20 стр.371-373. показано, что С=1,32032...
Вероятность события $A_3$, что натуральное число $x+2n_1+2n_2$ является простым числом при условии, что натуральные числа x, $x+2n_1$ являются простыми числами $P(A_3/A_1,A_2)>1/\ln(x),$ т.е равна $C_2/\ln(x), C_2 > 1$, так как известно, что число $x+2n_1$ является простым числом, поэтому число $x+2n_1+2n_2$ заведомо является нечетным.
Используя формулу вероятности произведения зависимых событий получаем:
$P(A_1 \cdot A_2 \cdot A_3)=P(A_1)P(A_2/A_1)P(A_3/A_1,A_2)=1/\ln(x) \cdot C/\ln(x) \cdot C_2/\ln(x)=C_3/\ln^3(x).$(13) и.т.д.
Для несоставных простых кортежей состоящей из k простых чисел аналогично получаем:
$P(A_1 \cdot A_2 \cdot ...\cdot A_k)=P(A_1)P(A_2/A_1) \cdot ...\cdot P(A_k/A_1,..,A_{k-1})=1/\ln(x) \cdot C/\ln(x) \cdot...\cdot C_{k-1}/\ln(x)=C_k/\ln^k(x),$(14) где $C_k>1$.
Формулы для вычисления $C_k$ приведены в работах:
http://mathworld.wolfram.com/PrimeConstellation.html
http://primes.utm.edu/glossary/xpage/Di ... cture.html

Продолжение следует.

[tolstopuz]

vicvolf в сообщении #719527 писал(а):

Спасибо за контрпример. Вы правы. Асимптотическая плотность последовательности, как доли натурального ряда, обладает только конечной аддитивностью и поэтому является вероятностной мерой на конечном пространстве событий.

Кстати, какое у вас пространство событий?

[AV_77]

vicvolf в сообщении #718887 писал(а):

По аналогии (1) введем понятие плотности последовательности на бесконечном интервале натурального ряда [$A,\infty$), так называемую асимптотическую плотность:
$P(f,A,\infty)=\lim \limits_{x \to \infty} { \frac {\pi(f,A,x)} {x-A} },$(2)

Вот вы чего-то утверждаете, доказываете, а ведь этот предел может и не существовать.

[vicvolf]

AV_77 в сообщении #719626 писал(а):

vicvolf в сообщении #718887 писал(а):

По аналогии (1) введем понятие плотности последовательности на бесконечном интервале натурального ряда [$A,\infty$), так называемую асимптотическую плотность:
$P(f,A,\infty)=\lim \limits_{x \to \infty} { \frac {\pi(f,A,x)} {x-A} },$(2)

Вот вы чего-то утверждаете, доказываете, а ведь этот предел может и не существовать.

По определению x всегда больше А, поэтому знаменатель не равен 0. Рассматривается предел отношения количества членов последовательности, являющейся долей натурального ряда, к количеству членов натурального ряда, поэтому предел всегда существует и находится в диапазоне от 0 до 1.

[vicvolf]

tolstopuz в сообщении #719618 писал(а):

Кстати, какое у вас пространство событий?

Дискретное.

[shwedka]

vicvolf в сообщении #719670 писал(а):

Рассматривается предел отношения количества членов последовательности, являющейся долей натурального ряда, к количеству членов натурального ряда, поэтому предел всегда существует

Существование предела не доказано.

[AV_77]

vicvolf в сообщении #719670 писал(а):

Рассматривается предел отношения количества членов последовательности, являющейся долей натурального ряда, к количеству членов натурального ряда, поэтому предел всегда существует и находится в диапазоне от 0 до 1.

Вот в том то и дело, что не всегда. Можно построить последовательность, для которой этот предел не существует. Поэтому для каждого случая нужно доказывать существование.

[tolstopuz]

vicvolf в сообщении #719744 писал(а):

tolstopuz в сообщении #719618 писал(а):

Кстати, какое у вас пространство событий?

Дискретное.

Что именно у вас является элементарным событием?

[vicvolf]

AV_77 в сообщении #719782 писал(а):

Вот в том то и дело, что не всегда. Можно построить последовательность, для которой этот предел не существует. Поэтому для каждого случая нужно доказывать существование.

Последовательности, которые я рассматриваю имеют асимптотическую плотность в натуральном ряде, предел которой не только существует, но и равен 0.
Эта последовательность простых k-кортежей f(n) в натуральном ряде на интервале [$A, \infty$) с асимптотической плотностью:
$P(f,A,x) \sim \frac {C_k} {\ln^k(x)}$, где $C_k$ - постоянная зависящая от k.
Предел которой равен:
$P(f,A,\infty)=\lim \limits_{x \to \infty} { \frac {C_k} {\ln^k(x)} }=0$.
В частном случае, при k=1, получается асимптотическая плотность простых чисел.
Или последовательность квадратов натуральных чисел g(n) в натуральном ряде на интервале [$A, \infty$) с асимптотической плотностью:
$P(g,A,x)\sim \frac {1} {\sqrt{x}}$.
Предел которой равен:
$P(g,A,\infty)=\lim \limits_{x \to \infty} { \frac {1} {\sqrt{x}}=0$ и.т.д.

[AV_77]

vicvolf в сообщении #719969 писал(а):

Последовательности, которые я рассматриваю имеют асимптотическую плотность в натуральном ряде, предел которой не только существует, но и равен 0.

Я не знаю, что вы рассматриваете. Пока видно, что в ваших рассуждениях про асимптотическую плотность никаких ограничений на последовательности нет.

[vicvolf]

AV_77 в сообщении #720035 писал(а):

Я не знаю, что вы рассматриваете. Пока видно, что в ваших рассуждениях про асимптотическую плотность никаких ограничений на последовательности нет.

Хорошо отредактируем.
По аналогии (1) введем понятие плотности последовательности на бесконечном интервале натурального ряда [$A,\infty$), так называемую асимптотическую плотность:
$P(f,A,\infty)=\lim \limits_{x \to \infty} { \frac {\pi(f,A,x)} {x-A} },$(2) (при условии, что данный предел существует)
или $P(f,A,x)\sim \frac {\pi(f,a,x)} {x-A},$(3)

-- 05.05.2013, 21:53 --

Продолжение

2.Гипотеза Крамера
$p_{n+1}-p_n=O(\ln^2(p_n)),$(15) где $p_n$ - n-ое простое число.
Гипотеза Крамера также основывается на вероятностной модели распределения простых чисел, т.е., что вероятность того, что натуральное число х является простым числом равна $1/\ln(x)$.
Крамер доказал в своей вероятностной модели, что гипотеза справедлива с вероятностью равной 1 - Cramer,Haraid (1936) "On the order of magnitude jf the difference between consecutive prime numbers" Acta Arithmetica T2:23-46.
Шенкс сделал уточнение в формуле (15):
$\lim \limits_{n\to \infty} {sup(\frac {p_{n+1}-p_n} {\ln^2(p_n)})}=a.$(16)
Грэнвилль в 1995 г. показал, что $a=2e^{-\gamma} \approx1,1229...,$ (17)
где $\gamma$ - постоянная Эйлера.

Продолжение следует.