законы Кеплера: вопрос [b]Munin[/b]

[Oleg Zubelevich]

там в другой теме post718661.html#p718661 вы утверждали, что закон всемирного тяготения

$$\overline F=-\gamma\frac{mM}{|\overline r_m-\overline r_M|^3}(\overline r_m-\overline r_M)$$

выводится из законов Кеплера. Очень хотелось бы увидеть этот вывод.
Можно считать, что мы уже вывели из законов Кеплера формулу $\overline F=-\mu\frac{m}{r^2}\overline e_r$, где $m$ -- масса планеты, $\mu$ -- положительное число, одинаковое для всех планет солнечной системы, $r$ -- расстояние от планеты до неподвижного солнца, которое является центром полярной системы координат.
Вы говорите, что с помощью третьего закона Ньютона можно получить $\mu=\gamma M$. Хотелось бы увидеть доказательство.

[iifat]

А что, то, что планета действует на Солнце с той же силой (по указанному вами третьему закону Ньютона) и, стало быть, массы должны входить в формулу симметрично -- не котит?

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #719045 писал(а):

там в другой теме post718661.html#p718661 вы утверждали, что закон всемирного тяготения
выводится из законов Кеплера.

Нет, я утверждал, что часть $F=\ldots Mm$ выводится из 3 закона Ньютона и уже выведенного вида $F=\ldots m.$ Всего лишь.

Для этого надо сказать, что формула для $F$ отображает всемирный универсальный закон, и значит, действие планеты на Солнце должно иметь такой же вид, что и действие Солнца на планету - с взаимной заменой положений и физических характеристик Солнца и планеты.

[Oleg Zubelevich]

В задаче Кеплера солнце и планета не равномправны: солнце неподвижно по условию. Поэтому формально $F=.. Mm$ из результатов задачи Кеплера не следует. А так то конечно все понятно.

[iifat]

А давайте прибьём Солнце гвоздиком, чтоб оно и вправду было неподвижным.
Что это изменит? Кеплер и так считает его неподвижным; третий закон Ньютона также не изменится ни на грамм.

[Oleg Zubelevich]

ну применили третий закон Ньютона, на солнце со стороны планеты действует сила равная по величине $\mu\frac{m}{r^2}$, где $m$ масса планеты. Дальше что?

[iifat]

Дальше того, что эти две силы совпадают — собственно, именно это и есть закон Ньютона. Только $\mu$ уже другое во второй силе.

[Oleg Zubelevich]

iifat в сообщении #719205 писал(а):

Дальше того, что эти две силы совпадают. Только $\mu$ уже другое во второй силе.

какие две силы совпадают? в какой второй силе другое $\mu$? почему? внятно плз и с формулами

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #719172 писал(а):

В задаче Кеплера солнце и планета не равномправны: солнце неподвижно по условию.

Это что вы задачей Кеплера называете? В физике делают так:
- сначала берут систему 2 тел (задача 1);
- потом переходят в систему центра инерции (задача 2);
- потом переходят к эквивалентной задаче с приведённой массой (задача 3);
- и наконец интегрируют движение (иногда тоже в несколько шагов).
Начиная с задачи 3, это уже "неравноправные тела", но там уже нет по отдельности Солнца (пишется с большой буквы) и планеты - там есть точка в центральном поле, и соответственно центр без собственной динамики вообще (то, что вы называете "неподвижно по условию").

А что из этого называть задачей Кеплера, а что не называть - единого соглашения нет.

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #719326 писал(а):

Это что вы задачей Кеплера называете?

меня учили называть следующее. берем задачу двух тел, пренебрегаем членами $m/M$, для полученной задачи формулируем законы Кеплера -- this is it

[Munin]

Странно вас учили. В общем, пренебрегать ими, конечно, можно, но в астрономии довольно часто встречаются случаи непренебрежимо малых $m/M$ (двойные звёзды, задача рассеяния для тел сравнимой массы). Приходится пользоваться приведённой массой.

Примеры: Ландау-Лифшиц "Механика", Медведев "Начала теоретической физики". Может, и в Арнольде есть.

-- 04.05.2013 10:41:26 --

P. S. Та же техника приведённой массы пригождается в задаче рассеяния частиц. А это половина квантовой механики и 90 % физики элементарных частиц.

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #719365 писал(а):

но в астрономии довольно часто встречаются случаи непренебрежимо малых $m/M$

ну естественно, но это уже называется не задача Кеплера, а задача двух тел, у нас во всяком случае. вы же про терминологию спрашивали

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #719371 писал(а):

ну естественно, но это уже называется не задача Кеплера, а задача двух тел, у нас во всяком случае.

Решения такой задачи в случае потенциала $1/r$ - точно такие же кеплеровские, и нет смысла отличать эту задачу от задачи Кеплера. Задача двух тел - это обычно более широкое понятие, например, с другим видом взаимодействия. (Или, как частный случай $n=2$ для задачи $n$ тел.)

Впрочем, как я уже сказал, единого соглашения нет.

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #719377 писал(а):

Решения такой задачи в случае потенциала $1/r$ - точно такие же кеплеровские,

ну да, а в случае другого потенциала -- точно такие же некеплеровские

Munin в сообщении #719377 писал(а):

и нет смысла отличать эту задачу от задачи Кеплера.

это уже методика преподавания, а я ставил другой вопрос.

Удалил

[Munin]

Использование теоремы о центре масс эквивалентно использованию 3 закона Ньютона.

Я лично поаплодировал и разошёлся.