норма идеала в алегбраическом расширении

[Oleg17]

подскажите, пожалуйста! где-то туплю...
не могу понять чему будет равна норма идеала.

возьмём, например, квадратичное поле, образованное корнем полинома $x^2 + 2$
возьмём простое число 11

$x^2 + 2 = (x-3)(x-8) mod 11$

следовательно, идеал $ (11) = (11, \sqrt{-2} -3 ) * (11, \sqrt{-2} - 8)$,

норма идеала (11) будет $11^2$
норма идеала $(11, \sqrt{-2} -3 )$ равна 11 и второго тоже

хочу понять, какую норму будет иметь идеал, образованный 11 и ,например, $ \sqrt{-2}-5$
т.е. $(11,\sqrt{-2} - 5)$ - это все элементы, которые можно записать как $11O_k + (\sqrt{-2}-5)O_k, O_k$ - кольцо целых
получается, что смежных классов $ O_k$ по этому идеалу будет 11, т.е. норма равна простому числу и по теореме это простой идеал, но получается , что $O_k/(11, \sqrt{-2}-5)$ - нецелостное кольцо и следовательно $(11, \sqrt{-2}-5)$ не может быть простым.
где я не прав???

как соотносяться $O_k/(11, \sqrt{-2} -5)$ и $Z /11Z$ ???
Спасибо за внимание!

[PAV]

PAV:

Наберите свои формулы с использованием TeX-а (тег math). Когда сделаете, сообщите любому модератору, и тема будет возвращена в форум.

[PAV]

Возвращено

[Oleg17]

Халло!
что такой тупой вопрос или ни у кого нет никаких соображений на этот счёт ???
ну всё равно спасибо за внимание..

[нг]

Oleg17
Позвольте напомнить, что подъем темы неинформативными сообщениями запрещен правилами форума.

[Oleg17]

ну вот.. только модераторам не лень клевать этот топик...

вроде понял что-то..
в этом поле просто число классов равно 1 и, следовательно, каждый идеал - главный.
и тогда $(11,\sqrt{-2}-5)$ будет иметь норму 27 и являться на самом деле главным идеалом $(3+3\sqrt{-2})$
вроде так..

[нг]

Oleg17
Пререкаться с модератарами — нарушение правил.

Но Вы принципиально неправы. По двум статьям. (а) Модераторам лень. Они бы с удовольствием потратили свое время на что-либо более полезное. Скажем, помочь кому-либо. (б) Модераторы «клюют» не топик, а Вас.

[tolstopuz]

Oleg17 писал(а):

в этом поле просто число классов равно 1 и, следовательно, каждый идеал - главный.

Ну да. Если идеал порожден двумя элементами, это не обязательно означает, что идеал не может быть порожден менее чем двумя элементами

Oleg17 писал(а):

следовательно, идеал $ (11) = (11, \sqrt{-2} -3 ) * (11, \sqrt{-2} - 8)$

$=(\sqrt{-2}-3)(\sqrt{-2}+3)$

Oleg17 писал(а):

и тогда $(11,\sqrt{-2}-5)$ будет иметь норму 27 и являться на самом деле главным идеалом $(3+3\sqrt{-2})$

5(11)+2(\sqrt{-2}+5)(\sqrt{-2}-5)=1