Матрицы и закругленный знак "больше"

[_genius_]

D - диагональная матрица с действительными значениями, I - единичная матрица, а буква, похожая на эпсилон, просто какое-то число больше нуля.
Когда справа 0 все ясно, это положительная определенность. Но когда справа матрица, что означает этот знак? У меня есть одно предположение: возможно имеется в виду сравнение по норме. Но хотелось бы знать точно.
Дополнительно могу сказать что это одно из условий/ограничений для задачи минимизации.

AKM:

\Large$D\succ \epsilon I$

[provincialka]

Могу только предположить (по аналогии с теорией отношений), что знак означает почленное неравенство. Но это так, в порядке бреда.

Кстати, красивая буква эпсилон получается, если назвать ее varepsilon, $\varepsilon$

АКМ:

Это всем известно (а кому не известно --- проверялка формул подсказывает).
Я ставил задачу в точности переписать приведённый ТС документ-картинку.

[RIP]

_genius_ в сообщении #715798 писал(а):

Когда справа 0 все ясно, это положительная определенность.

А $D\succ\varepsilon I$ --- то же самое, что $D-\varepsilon I\succ0$.

[_genius_]

RIP в сообщении #715820 писал(а):

_genius_ в сообщении #715798 писал(а):

Когда справа 0 все ясно, это положительная определенность.

А $D\succ\varepsilon I$ --- то же самое, что $D-\varepsilon I\succ0$.

Такая мысль тоже была, но я её отбросил после проверки. В статье про оптимизацию в конце был пример и матрица $D =diag([0.1566; 0.3132; 0.1566])$. Если из нее вычесть \epsilon I при \epsilon = 0.1566, то полученная матрица не будет положительно определенной.

[RIP]

Часто под положительной определённостью понимают неотрицательную определённость (ну, может, не часто, но я встречал такое).

[provincialka]

provincialka в сообщении #715809 писал(а):

АКМ:
Это всем известно (а кому не известно --- проверялка формул подсказывает).
Я ставил задачу в точности переписать приведённый ТС документ-картинку.

Да я не вам, с вами все ясно, я ТС-у. Надо же вставить свои 5 копеек !

_genius_ в сообщении #715834 писал(а):

Такая мысль тоже была, но я её отбросил после проверки. В статье про оптимизацию в конце был пример и матрица $D =\operatorname{diag}([0.1566; 0.3132; 0.1566])$. Если из нее вычесть \varepsilon I при \varepsilon = 0.1566, то полученная матрица не будет положительно определенной.

А эпсилон какое - любое или существует? Вы сами его выбрали, или это в примере было?

[_genius_]

RIP в сообщении #715838 писал(а):

Часто под положительной определённостью понимают неотрицательную определённость (ну, может, не часто, но я встречал такое).

Маловероятно, в статье упоминались и полуопределенные матрицы, так что авторы их не путают. Кстати, если $\varepsilon = 1.3132$, то $D-\varepsilon I$ становится отрицательно определенной. Тогда я вообще ничего не понимаю. Может $\varepsilon > 0 $ означает сколь угодно малое вещественное число? Но тогда это условие эквивалентно $D \succ 0 $ и незачем было бы его записывать по-другому.
Ах да, ещё в приложении про это условие сказано, что оно страхует от плохой обусловленности(ориг.: $D \succ \varepsilon I $ ensures the problem is not numerically ill-conditioned). Я уже подумываю просто забить на него.

[Xaositect]

Скорее всего, имеется в виду, что существует какое-то положительное $\varepsilon$, при котором $D-\varepsilon I$ положительно определена.

[Munin]

Если статья про численные методы, то $\varepsilon$ может обозначать не абстрактную сколь угодно малую величину, а конкретный масштаб, связанный с точностью численных расчётов, например, $10^{-n},$ если расчёт ведётся в числах с точностью $n$ знаков.

[_genius_]

Munin в сообщении #715960 писал(а):

Если статья про численные методы, то $\varepsilon$ может обозначать не абстрактную сколь угодно малую величину, а конкретный масштаб, связанный с точностью численных расчётов, например, $10^{-n},$ если расчёт ведётся в числах с точностью $n$ знаков.

Знаю, но к сожалению это не численные методы, а поиск оптимальных параметров масштабирования ADMM для класса задач распределенного квадратичного программирования. И в статье этот поиск сводится к задаче минимизации с некоторыми условиями, про одно из которых я здесь и спрашиваю.

[Munin]

Вы уверены, что численных вопросов там не поднимается? Упоминание условия not numerically ill-conditioned намекает.

[_genius_]

Munin в сообщении #716094 писал(а):

Вы уверены, что численных вопросов там не поднимается? Упоминание условия not numerically ill-conditioned намекает.

Ну минимизация-то точно численная, а не аналитическая. Просто само словосочетание "численные методы" у меня ассоциируется исключительно с интегрированием, интерполяцией и решением систем уравнений.

[Munin]

_genius_ в сообщении #716140 писал(а):

Просто само словосочетание "численные методы" у меня ассоциируется исключительно с интегрированием, интерполяцией и решением систем уравнений.

Это, конечно, узкое понимание, но решение систем уравнений как раз одна из численных задач линейной алгебры, что как бы намекает. Минимизация (в некоторых формулировках) - несколько других. Обусловленность - тоже термин из численных методов линейной алгебры.