Задача.
Пусть

, причем
![$[G : H] = m < \infty$ $[G : H] = m < \infty$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/0/c/e0cd6d2923d4b27922888b21ce89fa7a82.png)
. Доказать, что в

существует нормальный делитель

конечного индекса, содержащийся в

, причем
![$[G : N]$ $[G : N]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/6/7/d67dc8ac2a2c24dc3e0aca4cd036a74182.png)
делит

и делится на

.
Моё решение. Как оказалось, неверное.
Рассмотрим два случая.
1. Если

- простое, то существует только тривиальный случай, когда

, т. к.

- группа простого порядка -> она циклическая -> она абелева - > является нормальным делителем в

.

делит

и делится на

.
2. Если

- не является простым. Представим

как произведение простых чисел. Разобьём

на подгруппы простого порядка. Для любой подгруппы группы

группы

,
![$[H : M] = m \cdot k (k < m)$ $[H : M] = m \cdot k (k < m)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/1/2e1495125ebe4ec9157ae53a3d2ef8bb82.png)
-> найдется нормальный делитель в

c индексом

, который делит

и делится на

.
Решение неправильное, предложили решать то ли через классы смежности, то ли через классы эквивалентности. Никаких мыслей вообще нет, да и теория групп со скрипом идет. Буду благодарен, если натолкнете на путь или поможете решить.