Задача по теории групп.

[smkw0w]

Задача.

Пусть $H < G$, причем $[G : H] = m < \infty$. Доказать, что в $G$ существует нормальный делитель $N$ конечного индекса, содержащийся в $H$, причем $[G : N]$ делит $m!$ и делится на $m$.

Моё решение. Как оказалось, неверное.

Рассмотрим два случая.
1. Если $m$ - простое, то существует только тривиальный случай, когда $N = H$, т. к. $H$ - группа простого порядка -> она циклическая -> она абелева - > является нормальным делителем в $G$. $m$ делит $m!$ и делится на $m$.
2. Если $m$ - не является простым. Представим $m$ как произведение простых чисел. Разобьём $H$ на подгруппы простого порядка. Для любой подгруппы группы $M$ группы $H$ , $[H : M] = m \cdot k (k < m)$ -> найдется нормальный делитель в $H$ c индексом $m \cdot k$, который делит $m!$ и делится на $m$.

Решение неправильное, предложили решать то ли через классы смежности, то ли через классы эквивалентности. Никаких мыслей вообще нет, да и теория групп со скрипом идет. Буду благодарен, если натолкнете на путь или поможете решить.

[AV_77]

Начните с того, что если $N$ - нормальная подгруппа, то $N$ содержится во всех подгруппах, сопряженных с $H$.

[apriv]

smkw0w в сообщении #714765 писал(а):

Задача.

Пусть $H < G$, причем $[G : H] = m < \infty$. Доказать, что в $G$ существует нормальный делитель $N$ конечного индекса, содержащийся в $H$, причем $[G : N]$ делит $m!$ и делится на $m$.

Рассмотрите действие $G$ на множестве классов смежности $G/H$.

[smkw0w]

AV_77 в сообщении #714777 писал(а):

Начните с того, что если $N$ - нормальная подгруппа, то $N$ содержится во всех подгруппах, сопряженных с $H$.

Немного не понял, как это использовать, если честно.

apriv в сообщении #714778 писал(а):

Рассмотрите действие $G$ на множестве классов смежности $G/H$.

Построим гомоморфизм $f: G \to S(G/H)$ (симметрическую группу), т.е. в группу всех перестановок G/H. Порядок факторгруппы $G/H$ равен индексу подгруппы $[G : H] = m$. Факторгруппа $G/H$ конечна -> число элементов $S(G/H)$ равно $m!$. Ядро гомоморфизма является нормальной подгруппой, гомоморфный образ группы изоморфен факторгруппе по ядру гомоморфизма -> $N = \operatorname{Ker} S(G/H)$, $S(G/H)$ изоморфно $G/\operatorname{Ker}(f)$. Теперь нужно построить ядро? Только как?

[apriv]

smkw0w в сообщении #714812 писал(а):

Построим гомоморфизм $f: G \to S(G/H)$ (симметрическую группу), т.е. в группу всех перестановок G/H. Порядок факторгруппы $G/H$ равен индексу подгруппы $[G : H] = m$. Факторгруппа $G/H$ конечна -> число элементов $S(G/H)$ равно $m!$. Ядро гомоморфизма является нормальной подгруппой, гомоморфный образ группы изоморфен факторгруппе по ядру гомоморфизма -> $N = \operatorname{Ker} S(G/H)$, $S(G/H)$ изоморфно $G/\operatorname{Ker}(f)$. Теперь нужно построить ядро? Только как?

Что значит «построить»? Вот Вы только что у всех на глазах нашли нормальную подгруппу нужного индекса. Только теорему о гомоморфизме Вы неправильно применили, но это мелочи.

[smkw0w]

apriv в сообщении #714819 писал(а):

Что значит «построить»? Вот Вы только что у всех на глазах нашли нормальную подгруппу нужного индекса. Только теорему о гомоморфизме Вы неправильно применили, но это мелочи.

Нам же необходимо найти порядок ядра, чтобы доказать свойства делимости? Или как-то иначе действовать? Не очень внятно, почему $N$ лежит в $H$, можете пояснить?

[apriv]

smkw0w в сообщении #714930 писал(а):

Не очень внятно, почему $N$ лежит в $H$, можете пояснить?

Тогда давайте поподробнее — какой именно гомоморфизм из $G$ в $S(G/H)$ Вы построили? Если $x$ лежит в ядре этого гомоморфизма, то действие $x$ оставляет на месте все классы смежности из $G/H$, в частности, класс $H$. Запишите это и поймите, почему из этого следует, что $x$ лежит в $H$.
Дальше, примените теорему о гомоморфизме и (вместе с теоремой Лагранжа) получите, что индекс ядра делит $m!$. Ну, и из того, что ядро содержится в $H$, как раз будет следовать, что этот индекс делится на $m$.

[smkw0w]

apriv в сообщении #715226 писал(а):

Тогда давайте поподробнее — какой именно гомоморфизм из $G$ в $S(G/H)$ Вы построили?

Построил эпиморфизм. Просматривая 1 часть решения, понял, что ошибся: нормальный делитель $N = \operatorname{Ker}(f)$, разве он равен $\operatorname{Ker} S(G/H)$? Это ведь не вещи одного порядка.
По теореме о гомоморфизме: $S(G/H)$ изоморфно $G/\operatorname{Ker}(f)$ -> порядок $G/\operatorname{Ker}(f)$ равен порядку $S(G/H) = m!$
$|G/\operatorname{Ker}(f)| = индексу [G : \operatorname{Ker}(f)] = m!$. По теореме Лагранжа, порядок любой подгруппы конечной группы $G$ делит порядок $G$, т.е. порядок $N$ делит порядок $S(G/H)$. Получается, N = $\operatorname{Ker}(f)$ - подгруппа в $S(G/H)$?

И что значит "действие $x$"?