2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Это какая по определенности матрица?
Сообщение22.04.2013, 18:59 


01/04/12
107
И где бы ты ни был
Если у симметричной матрицы $A$ размерности $2\times2$ первый главный минор (элемент $a_{11}$) положительный, а второй главный минор ($a_{11}a_{22}-a_{12}^2$) отрицательный - то какой определенности это соответствует? Ясно, что не положительно определена, и что не отрицательно. А вот другие способы определенности (положительная полуопределенность, отрицательная полуопределенность) я не знаю как зависят от знаков главных миноров.

 Профиль  
                  
 
 Re: Это какая по определенности матрица?
Сообщение22.04.2013, 19:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
"Никак не определена" :-). Неопределенная.
Посмотрите в литературе, какой определитель (второй минор) должен быть у полуопределенной матрицы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Это какая по определенности матрица?
Сообщение22.04.2013, 19:09 


01/04/12
107
И где бы ты ни был
А если $a_{11}$ иногда принимает положительные, а иногда - отрицательные значения. Тоже никак не определена?

 Профиль  
                  
 
 Re: Это какая по определенности матрица?
Сообщение22.04.2013, 19:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
Никак не определена - это я пошутила, кавычки там. Просто есть непределенные матрицы (соотвествующие им квадратичные формы принимают и положительные, и отрицательные значения).

Слово "иногда" непонятно. У вас матрица переменная, что ли? Свойство определенности/неопределенности относится к фиксированной матрице, если матрица переменная, ее характеристика тоже может меняться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Это какая по определенности матрица?
Сообщение22.04.2013, 19:32 


01/04/12
107
И где бы ты ни был
Элементы матрицы зависят от одного параметра. Второй главный минор ($a_{11}a_{22}-a_{12}^2$) всегда отрицательный; так что хоть параметр и меняется, на определённость это не влияет. А вот первый главный минор ($a_{11}$) в зависимости от параметра может быть или положительным, или отрицательным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Это какая по определенности матрица?
Сообщение22.04.2013, 19:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
Несостыковка. В исходном сообщении второй минор отрицателен! В этом случае знак первого минора не важен.

Кстати, у вас минор записан неверно. Там квадрат, а не удвоение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Это какая по определенности матрица?
Сообщение22.04.2013, 19:39 


01/04/12
107
И где бы ты ни был
provincialka в сообщении #714203 писал(а):
В исходном сообщении второй минор отрицателен!

Оговорился.

provincialka в сообщении #714203 писал(а):
В этом случае знак первого минора не важен.

Почему?

provincialka в сообщении #714203 писал(а):
Там квадрат, а не удвоение.

Описался.

 Профиль  
                  
 
 Re: Это какая по определенности матрица?
Сообщение22.04.2013, 20:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
Легче всего понять через соотв. квадратичную форму. Если она положительно определена, то по всем направлаениям ее значения положительны. Вчастности, и для $y=0$. Аналогичная картина для отрицательной определенности.

Если же форма неопределенная, по некоторым направлениям значения положительны, по другим - отрицательны. Так что и вдоль оcи $Ox$ знак может быть любым.

 Профиль  
                  
 
 Где найти эту теорему в классических учебниках?
Сообщение30.04.2013, 08:33 


01/04/12
107
И где бы ты ни был
Есть теорема (в линейной алгебре вроде обычно даётся) о том, что по сочетанию знаков ведущих миноров матрицы из вторых производных квадратичной формы можно установить соответствующий характер поведения функции в малой окрестности: локальный минимум / локальный максимум / седловая точка / неизвестно.

Подскажите, где можно найти эту теорему в учебниках (желательно классических)? Надо сослаться на неё в курсовике.

 i  Две ветки на одну тему слиты. / GAA, 30.04.2013

 Профиль  
                  
 
 Re: Где найти эту теорему в классических учебниках?
Сообщение30.04.2013, 09:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/10
1600
spb
Любой приличный учебник по анализу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Где найти эту теорему в классических учебниках?
Сообщение30.04.2013, 09:33 


01/04/12
107
И где бы ты ни был
Например? Просмотрел Зорича, не нашёл.

-- 30.04.2013, 10:38 --

Если вдруг кто может конкретно ткнуть, был бы рад.
У меня кроме Зорича ещё Шварц есть, но я его ниасилю просмотреть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Где найти эту теорему в классических учебниках?
Сообщение30.04.2013, 09:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/10
1600
spb
Зорич, том 1, глава 8, параграф 4, теорема 6 и далее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Это какая по определенности матрица?
Сообщение30.04.2013, 11:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5932
Новосибирск
SpBTimes в сообщении #717564 писал(а):
Любой приличный учебник по анализу.

Критерий Сильвестра излагают обычно в учебниках по алгебре.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group