2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Это какая по определенности матрица?
Сообщение22.04.2013, 18:59 
Если у симметричной матрицы $A$ размерности $2\times2$ первый главный минор (элемент $a_{11}$) положительный, а второй главный минор ($a_{11}a_{22}-a_{12}^2$) отрицательный - то какой определенности это соответствует? Ясно, что не положительно определена, и что не отрицательно. А вот другие способы определенности (положительная полуопределенность, отрицательная полуопределенность) я не знаю как зависят от знаков главных миноров.

 
 
 
 Re: Это какая по определенности матрица?
Сообщение22.04.2013, 19:03 
Аватара пользователя
"Никак не определена" :-). Неопределенная.
Посмотрите в литературе, какой определитель (второй минор) должен быть у полуопределенной матрицы.

 
 
 
 Re: Это какая по определенности матрица?
Сообщение22.04.2013, 19:09 
А если $a_{11}$ иногда принимает положительные, а иногда - отрицательные значения. Тоже никак не определена?

 
 
 
 Re: Это какая по определенности матрица?
Сообщение22.04.2013, 19:25 
Аватара пользователя
Никак не определена - это я пошутила, кавычки там. Просто есть непределенные матрицы (соотвествующие им квадратичные формы принимают и положительные, и отрицательные значения).

Слово "иногда" непонятно. У вас матрица переменная, что ли? Свойство определенности/неопределенности относится к фиксированной матрице, если матрица переменная, ее характеристика тоже может меняться.

 
 
 
 Re: Это какая по определенности матрица?
Сообщение22.04.2013, 19:32 
Элементы матрицы зависят от одного параметра. Второй главный минор ($a_{11}a_{22}-a_{12}^2$) всегда отрицательный; так что хоть параметр и меняется, на определённость это не влияет. А вот первый главный минор ($a_{11}$) в зависимости от параметра может быть или положительным, или отрицательным.

 
 
 
 Re: Это какая по определенности матрица?
Сообщение22.04.2013, 19:36 
Аватара пользователя
Несостыковка. В исходном сообщении второй минор отрицателен! В этом случае знак первого минора не важен.

Кстати, у вас минор записан неверно. Там квадрат, а не удвоение.

 
 
 
 Re: Это какая по определенности матрица?
Сообщение22.04.2013, 19:39 
provincialka в сообщении #714203 писал(а):
В исходном сообщении второй минор отрицателен!

Оговорился.

provincialka в сообщении #714203 писал(а):
В этом случае знак первого минора не важен.

Почему?

provincialka в сообщении #714203 писал(а):
Там квадрат, а не удвоение.

Описался.

 
 
 
 Re: Это какая по определенности матрица?
Сообщение22.04.2013, 20:15 
Аватара пользователя
Легче всего понять через соотв. квадратичную форму. Если она положительно определена, то по всем направлаениям ее значения положительны. Вчастности, и для $y=0$. Аналогичная картина для отрицательной определенности.

Если же форма неопределенная, по некоторым направлениям значения положительны, по другим - отрицательны. Так что и вдоль оcи $Ox$ знак может быть любым.

 
 
 
 Где найти эту теорему в классических учебниках?
Сообщение30.04.2013, 08:33 
Есть теорема (в линейной алгебре вроде обычно даётся) о том, что по сочетанию знаков ведущих миноров матрицы из вторых производных квадратичной формы можно установить соответствующий характер поведения функции в малой окрестности: локальный минимум / локальный максимум / седловая точка / неизвестно.

Подскажите, где можно найти эту теорему в учебниках (желательно классических)? Надо сослаться на неё в курсовике.

 i  Две ветки на одну тему слиты. / GAA, 30.04.2013

 
 
 
 Re: Где найти эту теорему в классических учебниках?
Сообщение30.04.2013, 09:08 
Аватара пользователя
Любой приличный учебник по анализу.

 
 
 
 Re: Где найти эту теорему в классических учебниках?
Сообщение30.04.2013, 09:33 
Например? Просмотрел Зорича, не нашёл.

-- 30.04.2013, 10:38 --

Если вдруг кто может конкретно ткнуть, был бы рад.
У меня кроме Зорича ещё Шварц есть, но я его ниасилю просмотреть.

 
 
 
 Re: Где найти эту теорему в классических учебниках?
Сообщение30.04.2013, 09:41 
Аватара пользователя
Зорич, том 1, глава 8, параграф 4, теорема 6 и далее.

 
 
 
 Re: Это какая по определенности матрица?
Сообщение30.04.2013, 11:49 
Аватара пользователя
SpBTimes в сообщении #717564 писал(а):
Любой приличный учебник по анализу.

Критерий Сильвестра излагают обычно в учебниках по алгебре.

 
 
 [ Сообщений: 13 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group