счетно аддитивная функция множества

[provincialka]

Не всякий автобус идет "от Жордана", есть и другие исходные пункты.

Что, все-таки понимается в задаче под "мерой". Вообще мерой, не Лебега? Это необходимо, чтобы понять первую часть.

[tavrik]

да, в первой части имеется ввиду вообще мера. поэтому я и сказал, что надо пройтись по определению меры. мне кажестся матламер ближе всех это сказал - дана счетная полу-аддитивность и конечная аддитивность. надо доказать счетную аддитивность. это и есть недостающее для меры, нет?

-- Пт апр 19, 2013 16:28:48 --

а уже во второй части вывод из общего - относительно Лебега

[_hum_]

g______d

(Оффтоп)

g______d в сообщении #712549 писал(а):

Можно придумать такую задачу (хотя вряд ли это имел в виду ТС): пусть дана функция, определенная на всех подмножествах отрезка, неотрицательная, конечно-аддитивная и принимающая только конечные значения. Тогда она счетно-аддитивна. Более того, несложно описать все такие функции.

А на каком моменте рассуждения строятся? Что-то никак не могу сообразить?

[g______d]

(Оффтоп)

Прошу прощения, я нашел у себя ошибку в рассуждениях. Контрпример такой: возьмем произвольный неглавный ультрафильтр на $\mathbb N$, и пусть функция равна $1$, если множество принадлежит ультрафильтру, и $0$ если не принадлежит. Она будет конечно аддитивной, но не счетно аддитивной.

Неглавный ультрафильтр --- это такое семейство подмножеств множества натуральных чисел, что:

1. Никакое конечное множество ему не принадлежит.
2. Если $A\subset B\subset \mathbb N$ и $A$ принадлежит, то и $B$ принадлежит.
3. Если два множества принадлежат, то и их пересечение принадлежит.
4. Для любого подмножества $\mathbb N$ либо оно, либо его дополнение принадлежит.

Строится с помощью леммы Цорна.

[SpBTimes]

tavrik в сообщении #712620 писал(а):

внешняя мера Лебега(инфимум всем покрытий) определена на на всех подмножествах(это следует из определения внешней меры).
мера Лебега - сужение на $\sigma$-алгебру всем измеримых по лебегу множеств.

Как можно определять объект через сам себя?
Нет, так вообще не годится. По-моему у вас в голове хаос. Напишите, как вы понимаете меру Лебега, и как она строится, только стройными предложениями, приводя какие-то факты. Иначе мы - как много стен - пока никто никого не понимает

[provincialka]

Кстати, я посмотрела в доступных учебниках определение меры (в том числе в Колм.-Фом.) - не написано! Только мера на прямоугольниках, Жорданова, Лебега и т.п.

Попытаюсь объяснить, как я понимаю исходную задачу.
1. Зададим на всех подмножествах множества $X$ внешнюю меру как инфимум мер покрытий (некоторыми множествами из полукольца). Предположим, что она конечно-аддитивна. Тем самым ее можно рассматривать как меру на всех подмножествах.
2. Пользуясь этой внешней мерой, построим измеримые множества (как это делается в теории меры Лебега). Надо доказать, что в этом случае любое подмножество будет измеримым (так ли?). Тогда мера Лебега, порожденная внешней мерой, будет задана на всех подмножествах.
3. Теперь рассмотрим обычную меру Лебега на $\mathbb R^n$. Если бы внешняя мера, построенная с помощью мер прямоугольников, была конечно-аддитивна, то по доказанному выше, измеримыми по Лебегу были бы все множества на $\mathbb R^n$. Но это неверно, поэтому наше предположение неправильное.

Не знаю пока, верно ли то, что здесь написано. Но по-крайней мере, ясно, что доказывать/опровергать!

[SpBTimes]

provincialka
Мера $\mu$ - счетно-аддитивная неотрицательная функция, заданная на полукольце подмножеств множества $X$, причем $\mu(\emptyset) = 0$.

1. Да. Нужно показать, что конечная аддитивность + полуаддитивность равносильна счетной аддитивности.
2. Не понимаю сказанного. Просят показать, что внешняя мера, которая определяется, как инфимум сумм мер элементов покрытия (элементы которого из полукольца для меры Лебега - т.е. из полукольца ячеек) - не кончено аддитивна. Это сразу следует из первого пункта и существования неизмеримых множеств
3. п.2

[provincialka]

SpBTimes в сообщении #712972 писал(а):

provincialka
Мера $\mu$ - счетно-аддитивная неотрицательная функция, заданная на полукольце подмножеств множества $X$, причем $\mu(\emptyset) = 0$.

1. Да. Нужно показать, что конечная аддитивность + полуаддитивность равносильна счетной аддитивности.
2. Не понимаю сказанного. Просят показать, что внешняя мера, которая определяется, как инфимум сумм мер элементов покрытия (элементы которого из полукольца для меры Лебега - т.е. из полукольца ячеек) - не кончено аддитивна. Это сразу следует из первого пункта и существования неизмеримых множеств
3. п.2

п. 2 - по-моему, тут путаница с мерами. Что такое "неизмеримые множества"? Есть некоторая конструкция (например, использующая симметрическую разность), которая порождает измеримые множества. Доказано, что в $\matbb R^n$ существуют неизмеримые множества, т.е. не получающиеся с помощью этой конструкции. При чем же тут внешняя мера, которая задана на всех множествах?

Внешняя - на всех, а Лебега - на измеримых. Значит, надо показать, что в случае конечной аддитивности (и счетной, если это уже доказано) внешней меры измеримыми будут любые множества. Это не очевидно, это новая конструкция, про нее надо что-то снова доказывать.

Если пользоваться Колмогоровым-Фоминым, определение измеримого множества $A$ таково: Для любого $\varepsilon > 0$ существует элементарное множество $B$, такое, что $\mu^*(A\Delta B)<\varepsilon $...
Вот и предъявите для каждого A такое B. Пользуясь счетной аддитивностью.

Можно сказать еще так. Когда внешняя мера построена, с ее помощью выбирают "хорошие" множества, называют их измеримыми. Но, оказывается, не все множества "хороши". Почему же при счетно-аддитивной внешней мере - "хороши" все множества? Только в этом случае возникает противоречие, это и надо доказывать.

[SpBTimes]

provincialka

provincialka в сообщении #713017 писал(а):

по-моему, тут путаница с мерами

где?

provincialka в сообщении #713017 писал(а):

Значит, надо показать, что в случае конечной аддитивности (и счетной, если это уже доказано) внешней меры измеримыми будут любые множества. Это не очевидно, это новая конструкция, про нее надо что-то снова доказывать.

Надо показать, что если придать внешней мере св-во конечной аддитивности, то автоматически появится св-во счетной аддитивности, и внешняя мера будет мерой, заданной на всех подмножествах мн-ва $X$.

provincialka в сообщении #713017 писал(а):

Вот и предъявите для каждого A такое B. Пользуясь счетной аддитивностью.

Это измеримость по Лебегу. Зачем она вам здесь?

А вообще, я не понимаю, о чем спор :)

[provincialka]

SpBTimes в сообщении #713079 писал(а):

Это измеримость по Лебегу. Зачем она вам здесь?

А что надо? Как Вы и автор предлагаете прийти к противоречию? Пусть Вы доказали, что при заданных условиях внешняя мера есть мера, заданная на всех подмножествах. Ну и бог с ней, в чем противоречие?

SpBTimes в сообщении #712972 писал(а):

Не понимаю сказанного. Просят показать, что внешняя мера, которая определяется, как инфимум сумм мер элементов покрытия (элементы которого из полукольца для меры Лебега - т.е. из полукольца ячеек) - не кончено аддитивна. Это сразу следует из первого пункта и существования неизмеримых множеств

А что такое неизмеримые множества? И почему они существуют? Именно про это я и говорила! Когда говорят о измеримых/неизмеримых множествах, предполагается какой-то алгоритм их выделения. Конечно, с ними связана и мера Лебега (как сужение внешней меры на эти самые множества), но не в ней суть.

Пусть мы доказали, что внешняя мера есть мера (счетно-аддитивная), заданная на всех подмножествах $X$. А что, все эти подмножества тем самым становятся измеримыми? Да, на всех подмножествах задана внешняя мера, и она - мера. При этом некоторые из них, специально выделенные, называются измеримыми, другие же - неизмеримыми. Никакого противоречия пока не вижу!

На самом деле в этом места надо доказать, что при таком свойстве внешней меры измеримыми будут все множества. Но это доказательство не тривиально.

Вообще недоразумения во многом упираются в понимание того, что такое $X$. Если это конкретное множество - например, $\mathbb R$, то на нем свойства внешней меры известны и без этой задачи. В этом случае условие "внешняя мера конечно-аддитивна" выглядит примерно как $2\cdot 2 = 5$. Если же $X$ - абстрактное множество, то почему вы уверены в существовании неизмеримых? Предъявите теорему!.

[g______d]

provincialka в сообщении #713245 писал(а):

На самом деле в этом места надо доказать, что при таком свойстве внешней меры измеримыми будут все множества. Но это доказательство не тривиально.

Считается ли тривиальным утверждение о том, что если $X$ измеримо и имеет конечную меру, то для любого $A\subset X$ верно $\mu^*(A)+\mu_*(X\setminus A)=\mu(X)$?

[SpBTimes]

provincialka
Погодите. Предлагается 2 разных утверждения для доказательства:
1) Если внешняя мера конечно аддитивна, то она счетно аддитивна и является мерой (для произвольного $X$)
2) Показать, что внешняя мера, порожденная мерой Лебега, не является счетно-аддитивной

provincialka в сообщении #713245 писал(а):

Пусть мы доказали, что внешняя мера есть мера (счетно-аддитивная), заданная на всех подмножествах $X$. А что, все эти подмножества тем самым становятся измеримыми?

Да. Множество измеримо, если оно входит в область определения меры. (у внешней меры определение измеримости другое, но внешняя мера становится мерой).


1ое утверждение довольно несложно доказывается. Второе следует из того, что существуют неизмеримые по Лебегу множества.
В чем недоразумение?

[provincialka]

SpBTimes в сообщении #713268 писал(а):

Показать, что внешняя мера, порожденная мерой Лебега, не является счетно-аддитивной

Разве было сказано, что мера порождена мерой Лебега? Именно в этом смысл слов "внешняя мера Лебега"?
В общем, я вижу, что тут проблема в несостыковке разных терминологий. Надо было бы ТС уточнить, что он понимает под каждым словом. А мне вся эта путаница надоела, я умываю руки.

[SpBTimes]

provincialka в сообщении #713271 писал(а):

Именно в этом смысл слов "внешняя мера Лебега"?

А какие еще могут быть варианты?
Хотя, безусловно, термин неверен.

[tavrik]

внешняя мера Лебега - это внешняя мера определенная на R