счетно аддитивная функция множества

[tavrik]

пусть $X$ множество а $\mu*$ внешняя мера на нем.
доказать, что если $\mu*$ - конечно-аддитивная функция множеств, то $\mu*$ является мерой на $X$.
сделать вывод что внешняя мера Лебега не является конечно аддитивной функцией множеств.

(доказывать нужно пройдя по определению меры) но я запутался в общем в определениях и функциях множеств и мерах вообще.
вроде бы мера Лебега счетна аддитивна - а это сильнее конечной аддитивности.
понимаю, что дело в неизмеримых множествах - то есть в их существовании?

-- Чт апр 18, 2013 08:54:05 --

то есть она(мера Лебега) счетна аддитивна на подклассе $X$ но не на всем пространстве(как здесь требуется).

[provincialka]

Вопросы по формулировке:
Что означают слова "является мерой на $X$? Мера задается на множестве подмножеств (кольце, алгебре, $\sigma$-алгебре ). А $X$ - это одно множество. Имеется в виду, что $\mu^*$ задано на каждом подмножестве?

Каково вообще множество $X$? Может ли оно быть, например, конечным?

И еще:
Что такое "все пространство"? Как мы можем о нем говорить, если информация дана только для $X$?

[мат-ламер]

tavrik в сообщении #712002 писал(а):

понимаю, что дело в неизмеримых множествах - то есть в их существовании?

Мне тоже так кажется. Внешняя мера определена для всех подмножеств. Тогда все они будут измеримы. Вроде как "внешняя мера Лебега" не говорят. Или одно, или другое (но я не уверен). Т.е. Вам остаётся доказать, что если функция множеств конечно-аддитивна и счётно-полуаддитивна, то она счётно-аддитивна.

[provincialka]

мат-ламер в сообщении #712417 писал(а):

tavrik в сообщении #712002 писал(а):

понимаю, что дело в неизмеримых множествах - то есть в их существовании?

Мне тоже так кажется. Внешняя мера определена для всех подмножеств. Тогда все они будут измеримы. Вроде как "внешняя мера Лебега" не говорят. Или одно, или другое (но я не уверен). Т.е. Вам остаётся доказать, что если функция множеств конечно-аддитивна и счётно-полуаддитивна, то она счётно-аддитивна.

Вообще в формулировке много непонятного. Кстати, мера (произвольная) не обязана быть счетно-аддитивной. Жорданова мера, например не такова. Для того и придумали меру Лебега, чтобы пополнить жорданову.

[SpBTimes]

Наверное, имеется в виду стандартная задача (основная теорема продолжения).
Пусть $\tau$ - внешняя мера в $X$. Система $\tau$ - измеримых множеств - $U_{\tau}$. Тогда $U_{\tau}$ - $\sigma$ - алгебра, и сужение $\tau$ на нее - мера.

-- Чт апр 18, 2013 21:11:38 --

provincialka в сообщении #712431 писал(а):

Жорданова мера, например не такова.

Как это - не такова? Весьма такова.
Функция $g$ называется счетно-аддитивной на $X$, если из условия, что $A, A_i \in X$, причем $A_i \cdot A_j = \emptyset$ при $i \neq j$ и $A = \cup\limits_{n = 1}^{\infty} A_n$ выполнено $g(A) = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} g(A_n)$
Так что у Жордана, если только объединение оказывается измеримым, все в порядке. Просто область определения - не сигма-алгебра

[provincialka]

SpBTimes в сообщении #712449 писал(а):

Так что у Жордана, если только объединение оказывается измеримым, все в порядке. Просто область определения - не сигма-алгебра

Ладно, пусть так. Вернемся к задаче.
Что, если $X$ конечно, и задана мера каждой точки? Тогда внешняя мера просто совпадает с суммой весов и является мерой.

Что все-таки известно об $X$?

[SpBTimes]

$X$ - основное множество (т.е. любое рассматриваемое множество - подмножество $X$). И все.

[provincialka]

Что такое мера на семействе множеств? Вообще мера, не Лебега, не Жордана ...
Как я понимаю - функционал, принимающий неотрицательные значения, аддитивный (вообще говоря, конечно). Тогда что надо доказывать в первом пункте? Или это риторический вопрос?
Или в определение входит счетная аддитивность?

Во втором пункте, как я понимаю, надо использовать первый и прийти к противоречию. То есть предположить, что внешняя мера (или все же мера Лебега?) конечно-аддитивна, тогда это мера заданная на всех подмножествах $X$. Осталось показать, что этого быть не может, что эта меры, заданной на всех подмножествах, не существует.

Но почему? Конечное множества дает контрпример.
На прямой доказано, что множество, не измеримое по Лебегу, есть на прямой. Ну и что? А на других $X$?
В конце концов, возьмем в качестве исходной меры на полукольце нулевой функционал. Это тоже контрпример.

В общем, нужно уточнить услови задачи.

[SpBTimes]

provincialka в сообщении #712498 писал(а):

Или в определение входит счетная аддитивность?

Входит. И исходно же определяется на полукольце (в виду его обозримости), а потом уже продолжается на $\sigma$ - алгебру (если возможно).


Вообще конечно, внешняя мера определяется на $\sigma$ - алгебре всех подмножеств основного множества $X$. Изначально у внешней меры нет даже конечной аддитивности, а есть только счетная (и конечно же конечная) полуаддитивности. Далее выделяется некая алгебра, на которой внешняя мера аддитивна. Однако оказывается, что

SpBTimes в сообщении #712449 писал(а):

Система $\tau$ - измеримых множеств - $U_{\tau}$. Тогда $U_{\tau}$ - $\sigma$ - алгебра, и сужение $\tau$ на нее - мера.

Это решает первый вопрос.

Про внешнюю меру Лебега я не понял. Есть просто понятие внешней меры, которое возникает при попытки продолжать данную вам меру, определенную на полукольце, на более широкий класс подмножеств. Наверное, тут имеется в виду внешняя мера, которая возникает при попытке продолжить классический объем на полукольце ячеек.

provincialka в сообщении #712498 писал(а):

Но почему? Конечное множества дает контрпример.

Контрпример чего? Мы же про Лебега.

provincialka в сообщении #712498 писал(а):

На прямой доказано, что множество, не измеримое по Лебегу, есть на прямой. Ну и что? А на других $X$?
В конце концов, возьмем в качестве исходной меры на полукольце нулевой функционал. Это тоже контрпример.

Подождите, мы говорим про конкретную меру и порожденную ею внешнюю меру - "внешнюю меру Лебега". Она не определяется "на других $X$".

[provincialka]

Я заметила, что ТС вообще устранился. Ему не интересно. А говорим ли мы о "мере Лебега" - непонятно, покуда не разъяснено загадочное выражение "внешняя мера Лебега".
Абстрактная мера Лебега, насколько я понимаю, продолжается с любого полукольца, а не только с прямоугольников?

[g______d]

Можно придумать такую задачу (хотя вряд ли это имел в виду ТС): пусть дана функция, определенная на всех подмножествах отрезка, неотрицательная, конечно-аддитивная и принимающая только конечные значения. Тогда она счетно-аддитивна. Более того, несложно описать все такие функции.

[tavrik]

странно, что у нас о полукольцах ни слова - только с алгебры и $\sigma$-алгебры началось определение меры.

по поводу внешней меры Лебега и меры Лебега.
внешняя мера Лебега(инфимум всем покрытий) определена на на всех подмножествах(это следует из определения внешней меры).
мера Лебега - сужение на $\sigma$-алгебру всем измеримых по лебегу множеств.

-- Пт апр 19, 2013 08:18:29 --

только инфимум сумм всем возможных покрытий наверное.

[provincialka]

tavrik в сообщении #712620 писал(а):

странно, что у нас о полукольцах ни слова - только с алгебры и $\sigma$-алгебры началось определение меры.

по поводу внешней меры Лебега и меры Лебега.
внешняя мера Лебега(инфимум всем покрытий) определена на на всех подмножествах(это следует из определения внешней меры).
мера Лебега - сужение на $\sigma$-алгебру всем измеримых по лебегу множеств.

То есть как это? Мера Лебега есть продолжение на более широкий класс множеств некоторой, заранее заданной меры. Например, площади прямоугольника (длины отрезка и т.п.) Но можно за основу взять и любое абстрактное множество с заданной на некоторых подмножествах абстрактной мерой, а потом все это продолжать.

Раз говорится "Пусть внешняя мера то-то и то-то", возникает мысль, что эта внешняя мера достаточно произвольна. Потому что внешняя мера, продолженная с кольца прямоугольников - конкретная, и говорить про нее "Пусть" - возможно, но как-то странно.

Видимо все-таки Ваша задача вырвана из контекста, что-то еще явно или неявно предполагается.

(Оффтоп)

Мне как-то сдавала матан одна девица, определение производной она давала так: "Если предел существует и конечен, он называется производной". На мои недоумения отвечала твердо: так в книжке написано. И книжку мне продемонстрировала.
Правда, там перед этой фразой стояла еще некоторая формула, но девица ее мужественно проигнорировала как несущественную!

Я пользуюсь Колмогоровым-Фоминым, там говорится просто "внешняя мера" и, отдельно, "мера Лебега". Но, конечно, терминология - вещь условная...

[tavrik]

на более широкий класс - это если ваш автобус со стороны жордана приехал.
а мой со стороны внешней меры, поэтому сужение. но вышли мы на одной остановке все таки.

[provincialka]

Ну, внешняя-то мера откуда взялась? Инфимум чего? Чтобы брать инфимум по всем покрытиям, надо что-то для этих покрытий вычислить. А чем покрываете?
Вот про эти две вещи: чем покрываете и как берете размер этого чего-то я и говорю.