Счет и числа.

[jurij]

Ott пишет.

Ответ на этот вопрос мне видится всего в одном слове: подгонка.

Подгонка не катит, см. ниже.

Stan Slapenarski пишет.

И те из них, которые описывают наш прошлый опыт или позволяют предсказывать наш будущий опыт, нами сохраняются и принимаются. Те же, которые не соответствуют нашему опыту, практике, которые имеют противоречащие им следствия – отбрасываются.

Нет, селекция тоже не катит.

Физики-теоретики научились правильно формулировать свои теории. А любая(!) ПРАВИЛЬНО СФОРМУЛИРОВАННАЯ теория, (сколь бы она не была идиотской), является ВЕРНОЙ. Верной в том смысле, что она будет внутренне непротиворечивой, а ее выводы будут подтверждаться в опыте.

Заслуги авторов теории в этом нет никакой. Это всего лишь свойство формализованных теорий, т.е. теорий использующих числа как способ отображения свойств тел, а математический анализ как инструмент исследования этих (отображенных) свойств.

Пример, недавно упоминавшаяся квантовая электродинамика. Согласно ее представлениям одноименно заряженные тела отталкиваются потому, что обмениваются виртуальными квантами, имеющими вид шаров для боулинга. А разноименные притягиваются потому, что обмениваются квантами, имеющими вид австралийских бумерангов.

То есть, согласно квантовой электродинамике тела, перед тем как начать взаимодействие, должны сначала выяснить друг у друга как соотносятся их заряды – они одного знака или разных. За тем выбрать нужный вид квантов для обмена и начать взаимодействие. Идиотизм полный, тем не менее, солидная физическая теория, выводы которой замечательно подтверждаются в опыте.


Stan Slapenarski пишет.

А вот почему математика играет существенную роль в успешно и точно описывающих, объясняющих наш мир теориях – это уже другой вопрос. Я могу объяснить это тем, что наш мир упорядочен, в частности, и математически.

Нет, математики не умрут от скромности. Почему в частности. Просто упорядочен математикой. Например, так.

Это было очень давно, тогда, когда возникла материя. Тогда никаких законов не было, а потому материя существовала в виде хаоса. Материя от этого очень страдала, поскольку не могла создать ни кварков, ни квантов. Ни атомов, ни молекул. Но вот пришел человек, который сформулировал аксиомы Пеано…

…И мир наш стал таким, каким мы его сейчас наблюдаем. (Вариант теории Большого взрыва, который не более идиотичен, чем сама теория Большого взрыва).




Stan Slapenarski пишет.

Однако это же не значит, что можно отождествлять это отображение с самим окружающим миром, а также различные формы этого отображения между собой.

Да я и не отождествляю. «Бухгалтерский отчет это отображение деятельности предприятия в денежном исчислении». Именно отображение, а не сама деятельность. Только бухгалтера полагают, что их работа и есть деятельность предприятия.


Stan Slapenarski пишет.

Резюме: И, собственно, если математика не порождена упорядоченностью нашего мира, то откуда же еще она могла взяться?!

Вот здесь я с Вами полностью согласен! Математика порождена упорядоченностью нашего мира, или математика, ее числа в частности, отображают упорядоченность нашего мира, я большой разницы в этих утверждения не вижу. Иными словами, математика такова, каков наш мир. И будь наш мир устроен иначе, то и возникшая бы в этом мира математика была бы иной.

В заключение, привет от «цветной» системы исчисления. Ничего вразумительного против существования такой системы я не услышал. За экскурс в физиологию цветного зрения спасибо, но он к вопросу отношения не имеет.

[Deggial]

jurij, замечание за неправильное оформление цитат. Для оформления цитат используйте кнопки "Цитата" и "Вставка", находящиеся в углу каждого сообщения.

[jurij]

Stan Slapenarski в сообщении #708898 писал(а):

Эвклид в своих «Началах»: «Единица есть то, в соответствии с чем каждая из существующих вещей называется одной....

jurij в сообщении #706502 писал(а):

"Счет и числа": "...счетный элемент это элемент, символически отображающий факт наличия элемента материального."

[Yarkin]

Stan Slapenarski в сообщении #708898 писал(а):

Частичный пруф: «Первое научное определение числа дал Эвклид в своих «Началах»: «Единица есть то, в соответствии с чем каждая из существующих вещей называется одной. Число есть множество, сложенное из единиц»».

А я думал, что Пифагор.

[jurij]

Насколько я понимаю, аксиоматический способ создания арифметики , т.е. чисел и правил действий с ними, подразумевает формулировку некой минимально необходимой системы утверждений - аксиом, которая затем позволяет, путем применения к ней операторов логики, воссоздать ту самую арифметики. Никакой практики. Только логика и абстрактная аксиоматика.
Вопрос: а что это за операторы? У меня на ум приходит только один - целое, больше своей части.
Впрочем, может быть я неправ. Тогда пусть меня поправят старшие товарищи (математики).

[Someone]

"Старшие товарищи (математики)" здесь Вас "поправить" не смогут, можно только посоветовать Вам взять учебник математической логики и в нём поразбираться. Переписывать сюда десятки страниц из учебника никто не будет. Могу только сказать, что в математической логике есть свои логические аксиомы (они называются тавтологиями) и правила вывода (в простейшем случае - modus ponens, но есть и другие). Такого "оператора", как "целое больше своей части", в математической логике нет.
Но я затрудняюсь указать литературу, подходящую для начинающего. Может быть, кто-нибудь что-нибудь посоветует.

[epros]

jurij в сообщении #712107 писал(а):

Насколько я понимаю, аксиоматический способ создания арифметики ...

Для начала прочитайте хотя бы статью википедии про арифметику Пеано. Правда русская статья не очень адекватная (впрочем, особого криминала там нет), лучше смотреть английскую.

[jurij]

Someone в сообщении #712116 писал(а):

Могу только сказать, что в математической логике есть свои логические аксиомы (они называются тавтологиями) и правила вывода (в простейшем случае - modus ponens, но есть и другие).

Немного не то. Вопрос не об инструментах математики.

epros в сообщении #712171 писал(а):

Для начала прочитайте хотя бы статью википедии про арифметику Пеано.

Опять не то. Пеано оперирует в своих аксиомах готовыми понятиями - единица и сложение. Вопрос о том, как обосновать эти фундаментальные понятия арифметики чисто логически, не прибегая к практике, например, путем обобщения (абстрагирования) ее понятий.
Может быть этой задачей занимался немецкий математик и логик Готтлиб Фреге?

[kp0248]

Someone писал(а):

Но я затрудняюсь указать литературу, подходящую для начинающего. Может быть, кто-нибудь что-нибудь посоветует.

Владимир Успенский. Что такое аксиоматический метод?

[Sonic86]

Я выскажусь специально категорично, пусть лучше меня поправят, если я неправ.

jurij в сообщении #712864 писал(а):

Пеано оперирует в своих аксиомах готовыми понятиями - единица и сложение. Вопрос о том, как обосновать эти фундаментальные понятия арифметики чисто логически, не прибегая к практике, например, путем обобщения (абстрагирования) ее понятий.

Это никому неинтересно и не нужно. Кроме того, это тривиально и общеизвестно. А аксиомы нужны не для этого.

Someone в сообщении #712116 писал(а):

Но я затрудняюсь указать литературу, подходящую для начинающего. Может быть, кто-нибудь что-нибудь посоветует.

Игошин Матлогика и теория алгоритмов, очень простая и доступная книжка. В ней - главы про неформальные и про формальные аксиоматические теории.

[epros]

jurij в сообщении #712864 писал(а):

Пеано оперирует в своих аксиомах готовыми понятиями - единица и сложение. Вопрос о том, как обосновать эти фундаментальные понятия арифметики чисто логически, не прибегая к практике, например, путем обобщения (абстрагирования) ее понятий.

Понятия не «обосновываются», а «определяются». И определяются понятия единицы и сложения как раз той самой арифметикой Пеано, т.е. теми самыми аксиомами.

[jurij]

Sonic86 в сообщении #712870 писал(а):

Это никому неинтересно и не нужно...

Если не будет обсуждения, то Вы правы.

epros в сообщении #712880 писал(а):

И определяются понятия единицы и сложения как раз той самой арифметикой Пеано, т.е. теми самыми аксиомами.

Я действительно не математик потому, что по мне так в своих аксиомах Пеано и не определяет и не обосновывает понятия единица и сложение

[Someone]

jurij в сообщении #712864 писал(а):

Немного не то. Вопрос не об инструментах математики.

Значит, Вы не смогли спросить то, что хотели.

jurij в сообщении #712900 писал(а):

Я действительно не математик потому, что по мне так в своих аксиомах Пеано и не определяет и не обосновывает понятия единица и сложение

А какого Вы хотите "определения"? По мне, так единица и сложение у Пеано достаточно определены: точно указано, что с ними можно делать, и какими свойствами они должны обладать.

[Doil-byle]

jurij
$0=\varnothing$, $1=0 \cup \{0\}$, $n+1=n \cup \{n\}$. $\{n\}$ - это множество с единственным элементом - $n$, только с единственным.Так пойдёт?

[arseniiv]

Только тут дело в том, что это одно из возможных «кодирований», а нужные свойства чисел всё равно определяются аксиомами Пеано. Говоря объекто-ориентированно, можно сказать, что аксиомы Пеано — это интерфейс, который реализуется всеми классами-представлениями натуральных чисел — и с помощью множеств, и с помощью $\lambda$-термов (есть выше в этой теме), и с помощью чего-нибудь ещё. И когда мы пользуемся ими, мы всегда по факту нуждаемся только в интерфейсе, а остальные детали классов-реализаций нам не нужны.

(Оффтоп)

Doil-byle в сообщении #712971 писал(а):

Так пойдёт?

Вы думаете услышать приемлемый ответ? Человек вроде бы не хвастался знаниями теории множеств…