А бывает ли перенормировка в КТП?

[VladimirKalitvianski]

Joker_vD в сообщении #711813 писал(а):

VladimirKalitvianski
http://arxiv.org/abs/physics/0508031 — там для протяженной заряженной частицы выводятся опять же уравнения, совпадающие с (76.1)—(76.3).

Да, и Rohrlich тоже толкует о протяженной, но маленькой частице. Он долго пытался получить некие уравнения для заряда (есть много его статей и книг на эту тему) и в итоге пришел к выводу, что формула (76.3) это то, что надо. Протяженность частицы у него имеет смысл регуляризации и не входит в окончательные формулы (или входит, как ноль).

Кстати, неравенства, приведенные в его статье, означают, что заряд, удерживаемый парой противиположных сил в покое, нельзя "отпускать" резко. То есть, мячик в поле тяжести Земли можно отпустить из покоя и пусть себе падает, уравнение Ньютона беспроблемное, а заряд так просто отпускать нельзя - член торможения излучением "взрывается" из-за производной от ступеньки $\dot{\vec{F}}_{ext}$.

[Joker_vD]

А разрывы у $\vec F$ — это тоже "идеализация". Иногда она допустима, а иногда нет.

[VladimirKalitvianski]

Joker_vD в сообщении #711871 писал(а):

А разрывы у $\vec F$ — это тоже "идеализация". Иногда она допустима, а иногда нет.

Согласен, но для простого мячика это не представляет никакой проблемы, обычная ситуация.

А во ещё одна ситуация: заряд влетает в область с полем, изменяюшимся плавно, например, между электродами (трубками) ускорителя, и разгоняется в этом зазоре. Сила имеет вид, скажем, перевернутого колокола, с максимумом посередине. Так вот, на одной половинке колокола производная внешней силы одного знака, а на другой другого и член $\dot{F}_{ext}=\frac{dF_{ext}}{dx}\dot{x}$ меняет свой знак. Сила торможения излучением может тормозить, а может и подталкивать заряд

[pupsik]

Вот конкретный пример подгона регуляризации.
Рассмотрим массовый оператор.
Можно заметить, что он представляется в виде
$\Sigma(p)=C_1(p^2)+C_2(p^2)\hat{p}$,
где $C_1(x)$ и $C_2(x)$ - некоторые функции. Чтобы вся теория перенормировок работала, а конкретно гениальная идея с определением наблюдаемой массы как полюса электронной функции Грина, $C_1$ и $C_2$ должны принимать вещественные значения. Но так ли это? Рассмотрим, например, вычисление массового оператора во втором порядке по книге Боголюбова-Ширкова "Введение в теорию квантовых полей" (Устранение расходимостей из S-матрицы/Расходимости в S-матрицы в электродинамике (второй порядок)/Расходящаяся диаграмма с двумя внешними электронными линиями). Там, если по-хорошему считать по методу Боголюбова-Ширкова, то нужно использовать интеграл
$\int_{0}^{+\infty} \frac{e^{iAx}}{x}dx$,
который расходится и по-хорошему должен быть вещественным, чтобы всё получилось, при этом легко видеть, что он имеет вполне себе сходящуюся мнимую часть, равную $\pi/2$. Вот тут-то и используется регуляризационной обман: можно подогнать регуляризацию так, чтобы интеграл получался всегда вещественным. Конкретно в Боголюбове-Ширкове, например, используется регуляризация с помощью большой вспомогательной массы, и из этого интеграла, получается, вычитается другой такой же, но с другим $A$, и мнимая часть, естественно, получается равна $\pi/2-\pi/2=0$. С другой стороны, если использовать естественную регуляризацию обрезанием или плавным обрезанием, то ничего подобного не получится.

Вопрос: как к этому относиться? У меня напрашиваются несколько вариантов:
1. Смириться с тем, что регуляризацию нужно подгонять, и что только правильно подогнав можно получить вожделенную перенормировку.
2. Найти какое-то рассуждение а-ля физический смысл, показывающее, что $C_1(x)$ и $C_2(x)$ на самом деле должны быть вещественными (я не нашёл) и придумать подобное впаривание для каждого такого неприятного момента в теории.
3. Найти более современное и правильное изложение теории перенормировок, лишённое подобных недостатков (через интегралы по траекториям какие-нибудь, которые суть ещё больший инструмент вешания лапши на уши, но вдруг это на самом деле не так?).
4. Вообще забить на эти голо-регуляризационные рассуждения и сразу использовать теорию, которая оперирует только наблюдаемыми величинами.
5. Рассматривать вместо точечных частиц слегка размытые и убедиться, что соответствующие этому регуляризации будут какими надо (скорее всего, как раз не такими).

Какой правильный?

[VladimirKalitvianski]

Регуляризацию можно брать любую, а вот вычитать нужно все поправки к массе, конечные они или бесконечные, мнимые и вещественные.

[fizeg]

pupsik
Недолюбливаю я БШ. Я больше жалую Пескина-Шредера. Все же у ПШ есть и то преимущество, что написан несколько десятков лет спустя.

К этому надо относится как к тому, что вы ошиблись Вы пытаетесь ввести регуляризацию слишком поздно - этот интеграл вылезает уже после того как мы уже интегрировали импульсы, использовав в пропагаторах регуляризацию Паули-Вилларса. Все там получается хорошо.

И в итоге результаты не зависят от регуляризации. Это то, что называется universality. Хотите про перенормировки понять лучше (и за пределами теории возмущений), читайте Вильсоновский подход к перенормировкам. В том же ПШ есть.

[pupsik]

fizeg в сообщении #726049 писал(а):

К этому надо относится как к тому, что вы ошиблись

Я был бы очень рад это признать, но я нахожусь в очень неприятной ситуации: с одной стороны, я регулярно вижу лажу в разных учебниках, а, с другой, все (в том числе авторы учебников) мне говорят, что на самом деле никакой лажи нет, но при этом не приводят никакого обоснования. Я вот, например, ни в одном учебнике (в том числе в Пескине-Шредере) не видел определения понятия "регуляризация", при этом в каждом как мантра повторяется, что от регуляризации ничего не зависит, хотя ещё в университетском курсе матанализа есть замечательная теорема Римана, которая говорит, что перестановкой членов условно сходящегося ряда можно получить любую сумму, т.е. даже в таком узком классе регуляризаций от неё что-то зависит! Это напоминает то, как бюрократы отфутболивают пользователей к другим бюрократам и гоняют по кругу: ты им аргумент, а они - вот сходи к тому-то и тому-то и узнай.

fizeg в сообщении #726049 писал(а):

Вы пытаетесь ввести регуляризацию слишком поздно - этот интеграл вылезает уже после того как мы уже интегрировали импульсы, использовав в пропагаторах регуляризацию Паули-Вилларса. Все там получается хорошо.

Вот я не вижу, почему там получается хорошо, и очень рад был бы увидеть обоснование на этом конкретном примере.

Если не верится, то есть другой пример: поляризационный оператор $\Pi_{ij}(k)$ - чтобы теория работала, он должен равняться нулю на нуле, и, чтобы это получить, недостаточно регуляризации Паули-Вилларса с одной вспомогательной массой, придётся взять несколько масс и очень аккуратно подогнать коэффициенты.
Там получается интеграл

$$\int_{0}^{+\infty}\frac{e^{iAx}}{x^3}dx $$

который как бы должен быть равен нулю и расходится. После регуляризации с одной массой будет

$$\int_0^{+\infty}\frac{e^{i(A+C)x}+e^{i(B+D)x}-e^{i(A+D)x}-e^{i(B+D)x}}{x^3}dx $$

который тоже будет расходиться, а вот с несколькими массами там будет всё зависеть от этих масс и коэффициентов - можно их выбрать так, например, чтобы интеграл сошелся, но не был равен нулю.

[pupsik]

Извиняюсь, деление там на $x^2$, а не $x^3$, и интеграл с одной вспомогательной массой таки сходится, но нулю не равен, в Боголюбове-Ширкове даже формула есть (и поляризационный оператор там не равен нулю на нуле во втором порядке). И это ещё хуже: как раз тот случай, когда регуляризация есть, приводит к сходимости, но к перенормировке не приводит.