Научите, пожалуйста, решать такие уравнения.

[qwertz]

$3^x - 7y = 8$

Я его свел к решению сравнения $3^x = 8 (mod 7)$, которое имеет решение в любом случае, ибо $(Z/7Z)^*$ — циклическая группа, а $g = 3$ — ее образующий элемент. Значит, все элементы группы можно представить в виде степени образующего.
$3^x = 8 (mod 7)$
$3^x = 1 (mod 7)$
Тогда очевидно, что $x = 6$.

Есть другие способы решения?

[Aritaborian]

А игрек вы куда дели?

[ИСН]

Ладно бы игрек. "Чемоданчик - вздор, чемоданчик потом отыщется." Куда дели решение с x=12?

[qwertz]

Aritaborian в сообщении #711618 писал(а):

А игрек вы куда дели?

Я нашел $x$, при котором уравнение $3^x - 7y = 8$ имеет решение в целых числах. Потом подставил бы $x$ и получил $y$.

ИСН в сообщении #711622 писал(а):

Ладно бы игрек. "Чемоданчик - вздор, чемоданчик потом отыщется." Куда дели решение с x=12?

А как получить решение с $x = 12$?

PS: Вольфрам, жаль, не хочет решать такие уравнения...

[ИСН]

Ну когда Вы в циклической группе, последовательно возводя образующий элемент в степени, получили все остальные элементы - что будет, если на этом не останавливаться, а продолжать возводить дальше?

[qwertz]

ИСН в сообщении #711644 писал(а):

Ну когда Вы в циклической группе, последовательно возводя образующий элемент в степени, получили все остальные элементы - что будет, если на этом не останавливаться, а продолжать возводить дальше?

А, ну да. Период повторения остатков, значит, равен $6$. Тогда $x = 6 + 6T$, где $T$ — натуральное.

[ИСН]

qwertz в сообщении #711651 писал(а):

Тогда $x = 6 + 6T$

Вот-вот. И это можно сказать короче (ибо первая шестёрка ничем не отличается от остальных).

[TOTAL]

qwertz в сообщении #711651 писал(а):

Тогда $x = 6 + 6T$, где $T$ — натуральное.

Потеряли одно или два решения.

[qwertz]

TOTAL, точно $(0; -1)$, $(6; 103)$. Как записать общее решение?

[Sonic86]

qwertz в сообщении #711612 писал(а):

$3^x - 7y = 8$

Вы забыли еще отсюда вывести ограничение $x\geqslant 0$. Без этого ограничения $y$ будет при $x<0$ рациональным, нецелым, хотя его числитель будет делиться на $7$.

Aritaborian в сообщении #711618 писал(а):

А игрек вы куда дели?

При $x\geqslant 0$ исходное уравнение и сравнение $3^x\equiv 1\pmod 7$ эквивалентны.
Как решать подобные сравнения можете узнать в книге Бухштаба Теория чисел - там все довольно хорошо разжевано.

qwertz в сообщении #711668 писал(а):

Как записать общее решение?

Нечто очень похожее на

qwertz в сообщении #711651 писал(а):

Тогда $x = 6 + 6T$, где $T$ — натуральное.

Попробуйте выписать несколько первых решений подряд.