2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Научите, пожалуйста, решать такие уравнения.
Сообщение17.04.2013, 16:34 
$3^x - 7y = 8$

Я его свел к решению сравнения $3^x = 8 (mod 7)$, которое имеет решение в любом случае, ибо $(Z/7Z)^*$ — циклическая группа, а $g = 3$ — ее образующий элемент. Значит, все элементы группы можно представить в виде степени образующего.
$3^x = 8 (mod 7)$
$3^x = 1 (mod 7)$
Тогда очевидно, что $x = 6$.

Есть другие способы решения?

 
 
 
 Re: Научите, пожалуйста, решать такие уравнения.
Сообщение17.04.2013, 16:41 
Аватара пользователя
А игрек вы куда дели?

 
 
 
 Re: Научите, пожалуйста, решать такие уравнения.
Сообщение17.04.2013, 16:45 
Аватара пользователя
Ладно бы игрек. "Чемоданчик - вздор, чемоданчик потом отыщется." Куда дели решение с x=12?

 
 
 
 Re: Научите, пожалуйста, решать такие уравнения.
Сообщение17.04.2013, 17:10 
Aritaborian в сообщении #711618 писал(а):
А игрек вы куда дели?

Я нашел $x$, при котором уравнение $3^x - 7y = 8$ имеет решение в целых числах. Потом подставил бы $x$ и получил $y$.

ИСН в сообщении #711622 писал(а):
Ладно бы игрек. "Чемоданчик - вздор, чемоданчик потом отыщется." Куда дели решение с x=12?

А как получить решение с $x = 12$?

PS: Вольфрам, жаль, не хочет решать такие уравнения...

 
 
 
 Re: Научите, пожалуйста, решать такие уравнения.
Сообщение17.04.2013, 17:15 
Аватара пользователя
Ну когда Вы в циклической группе, последовательно возводя образующий элемент в степени, получили все остальные элементы - что будет, если на этом не останавливаться, а продолжать возводить дальше?

 
 
 
 Re: Научите, пожалуйста, решать такие уравнения.
Сообщение17.04.2013, 17:31 
ИСН в сообщении #711644 писал(а):
Ну когда Вы в циклической группе, последовательно возводя образующий элемент в степени, получили все остальные элементы - что будет, если на этом не останавливаться, а продолжать возводить дальше?

А, ну да. Период повторения остатков, значит, равен $6$. Тогда $x = 6 + 6T$, где $T$ — натуральное.

 
 
 
 Re: Научите, пожалуйста, решать такие уравнения.
Сообщение17.04.2013, 17:33 
Аватара пользователя
qwertz в сообщении #711651 писал(а):
Тогда $x = 6 + 6T$
Вот-вот. И это можно сказать короче (ибо первая шестёрка ничем не отличается от остальных).

 
 
 
 Re: Научите, пожалуйста, решать такие уравнения.
Сообщение17.04.2013, 17:42 
Аватара пользователя
qwertz в сообщении #711651 писал(а):
Тогда $x = 6 + 6T$, где $T$ — натуральное.

Потеряли одно или два решения.

 
 
 
 Re: Научите, пожалуйста, решать такие уравнения.
Сообщение17.04.2013, 17:56 
TOTAL, точно $(0; -1)$, $(6; 103)$. Как записать общее решение?

 
 
 
 Re: Научите, пожалуйста, решать такие уравнения.
Сообщение17.04.2013, 18:52 
qwertz в сообщении #711612 писал(а):
$3^x - 7y = 8$
Вы забыли еще отсюда вывести ограничение $x\geqslant 0$. Без этого ограничения $y$ будет при $x<0$ рациональным, нецелым, хотя его числитель будет делиться на $7$.

Aritaborian в сообщении #711618 писал(а):
А игрек вы куда дели?
При $x\geqslant 0$ исходное уравнение и сравнение $3^x\equiv 1\pmod 7$ эквивалентны.
Как решать подобные сравнения можете узнать в книге Бухштаба Теория чисел - там все довольно хорошо разжевано.

qwertz в сообщении #711668 писал(а):
Как записать общее решение?
Нечто очень похожее на
qwertz в сообщении #711651 писал(а):
Тогда $x = 6 + 6T$, где $T$ — натуральное.
Попробуйте выписать несколько первых решений подряд.

 
 
 [ Сообщений: 10 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group