Интересная задача с функцией Мебиуса и Эйлера [Теория чисел]

[Whitaker]

Здравствуйте, дорогие друзья!

Пусть $k$ - натуральное и $D=\{d: \varphi(d)=k\}$. Доказать, что

$$\sum \limits_{d\in D}\mu(d)=0$$

Я например проверил для $k=4, 6, 8$ и заметил следующую интересную закономерность.
При $k=4$ получаем, что $D=\{7, 9, 14, 18\}$ и $\mu(9)=\mu(18)=0$, так как $9$ и $18$ делятся на $3^2$, остаются $7$ и $14=2\cdot 7$ и отсюда сразу $\mu(7)+\mu(14)=0$

При $k=8$ получаем, что $D=\{15, 16, 20, 24, 30\}$ и $\mu(16)=\mu(20)=\mu(24)=0$, так как $16, 20$ и $24$ делятся на $4^2$, остаются $15$ и $30=2\cdot 15$ и отсюда сразу $\mu(15)+\mu(30)=0$.

(Оффтоп)

т.е. в конце остаются 2 числа: некоторое $a$ и $2a$

Но этот факт для произвольных я что-то не могу показать.
Подскажите пожалуйста.

[Whitaker]

Вот моя попытка решения: Обозначим для удобства $D_k=\{d: \varphi(d)=k\}$
Пусть $D_k$ - искомое множество и обозначим через $F_k$ множество чисел из $D_k$ которые делятся на квадрат некоторого числа $\geqslant 2$.
Нетрудно понять из определения функции Мебиуса, что $\mu(d)=0$ для $d\in F_k$. Пусть $G_k=D_k\backslash F_k$
Нам достаточно проверить, что

$$\sum \limits_{d\in G_k}\mu(d)=0$$

Пусть $G_k=\{g_1^{(k)}, g_2^{(k)}, \dots, g_n^{(k)}\}$.
Если $g_1^{(k)}$ - нечетное число, то $\varphi(2g_1^{(k)})=\varphi(2)\varphi(g_1^{(k)})=k$, т.е. $2g_1^{(k)}\in G_k$
Из этих соображений нетрудно проверить, что в $G_k$ четное число элементов (нечетное быть не может).
Но так как $\mu(g_1^{(k)})+\mu(2g_1^{(k)})=\mu(g_1^{(k)})+\mu(2)\mu(g_1^{(k)})=\mu(g_1^{(k)})-\mu(g_1^{(k)})=0$ и отсюда получаем, что

$$\sum \limits_{d\in G_k}\mu(d)=0$$

Аналогично, проверяется случай когда $g_1^{(k)}$ - четное число. Тогда $2g_1^{(k)}\notin G_k$, так как $2g_1^{(k)}\in F_k.$ Тогда $g_1^{(k)}=2\tilde{g}_1^{(k)},$ причем $\tilde{g}_1^{(k)}$ - нечетное число (четным быть не может). Также проверяется, что $\tilde{g}_1^{(k)}\in G_k$
В этом случае также получаем, что

$$\sum \limits_{d\in G_k}\mu(d)=0$$

Верно?

[Sonic86]

Да, верно. Хотя обозначения малость навороченные но это не страшно.

[Whitaker]

Спасибо большое Sonic86!

(Оффтоп)

да символы немного навороченные, но по-лучше я придумать не смог