доказательство формулы включений и исключений

[voipp]

Все наверное ее знают: кол-во элементов в объединении множеств $A_{1},A_{2}...A_{n}$ вычисляется как сумма мощностей этих множеств минус сумма мощностей пересечений пар плюс сумма мощностей пересечений троек множеств и так далее до пересечения всех друг с другом.
Доказательство заключается в том, что каждый элемент левой части входит в правую 1 раз.
Пруф
В частности это доказательство приводится в формуле сложения вероятностей. Я не понимаю как это относится к ней.
PS доказать индукцией не получилось (

[gris]

Про теорию вероятностей. Бывают случаи, когда событие, вероятность которого мы вычисляем, возможно или удобнее разбить на подсобытия, которые совместны, то есть пересекаются самым причудливым способом, причём вероятности самих событий и их всевозможных пересечений легко считаются.
Тогда можно применить формулу включений и исключений. Доказательство по индукции совсем не сложно. Надо лишь при подстановке следить за знаками.
Для случайных величин формулу можно доказать, используя индикаторные функции и свойства матожидания.

[voipp]

gris в сообщении #711173 писал(а):

Про теорию вероятностей. Бывают случаи, когда событие, вероятность которого мы вычисляем, возможно или удобнее разбить на подсобытия, которые совместны, то есть пересекаются самым причудливым способом, причём вероятности самих событий и их всевозможных пересечений легко считаются.
Тогда можно применить формулу включений и исключений. Доказательство по индукции совсем не сложно. Надо лишь при подстановке следить за знаками.
Для случайных величин формулу можно доказать, используя индикаторные функции и свойства матожидания.

ну я имел ввиду, как перенести элементарное доказательство выше на язык теории вероятностей.
По индукции получается все таки сложнее )

[gris]

На языке ТВ можно сказать словами:
Если имеем конечное число событий, то вероятность наступления хотя бы одного из них равна сумме вероятностей событий минус сумма вероятностей парных пересечений плюс сумма вероятностей тройных пересечений и так далее. Все пересечения учитываются по одному разу.
Можно и формулой записать.
(Сигма)алгебра событий.

[--mS--]

voipp в сообщении #711222 писал(а):

ну я имел ввиду, как перенести элементарное доказательство выше на язык теории вероятностей.
По индукции получается все таки сложнее )

Так там же написано, как: записать доказанную любым простым путём формулу включения-исключения через индикаторные функции, а потом взять математические ожидания.

Вряд ли можно перенести это доказательство иначе, кроме как для случая классической вероятности. Там достаточно просто поделить все слагаемые на $|\Omega|$. Но вероятность - совсем не всегда есть отношение численностей.

[voipp]

gris в сообщении #711248 писал(а):

На языке ТВ можно сказать словами:
Если имеем конечное число событий, то вероятность наступления хотя бы одного из них равна сумме вероятностей событий минус сумма вероятностей парных пересечений плюс сумма вероятностей тройных пересечений и так далее. Все пересечения учитываются по одному разу.
Можно и формулой записать.
(Сигма)алгебра событий.

а точно. сигму-алгебру событий взять. спасибо.

[--mS--]

Куда-куда брать сигма-алгебру событий? И зачем?

[voipp]

--mS-- в сообщении #711295 писал(а):

Куда-куда брать сигма-алгебру событий? И зачем?

прошу прощение за каламбур. Я понял как свести доказательство , где выбирается элемент доказывается что он один.
Оно верно для теории множеств. А тут на лицо множества и его элементы, а вероятность та же мощность множества , только деленная на N. Все очевидно )
Доказательство взял на википедии. Поначалу оно кажется невероятным, действительно в теории множеств да и вообще ни разу не встречал подобной идеи.

[--mS--]

voipp в сообщении #711302 писал(а):

а вероятность та же мощность множества , только деленная на N.

Не хотите узнать всё же, что такое вероятность? Такие представления о ней - это даже не 20-й, а 18-й век.

[voipp]

--mS-- в сообщении #711305 писал(а):

voipp в сообщении #711302 писал(а):

а вероятность та же мощность множества , только деленная на N.

Не хотите узнать всё же, что такое вероятность? Такие представления о ней - это даже не 20-й, а 18-й век.

ладно ладно почитаю вики