2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 доказательство формулы включений и исключений
Сообщение16.04.2013, 18:11 
Все наверное ее знают: кол-во элементов в объединении множеств $A_{1},A_{2}...A_{n}$ вычисляется как сумма мощностей этих множеств минус сумма мощностей пересечений пар плюс сумма мощностей пересечений троек множеств и так далее до пересечения всех друг с другом.
Доказательство заключается в том, что каждый элемент левой части входит в правую 1 раз.
Пруф
В частности это доказательство приводится в формуле сложения вероятностей. Я не понимаю как это относится к ней.
PS доказать индукцией не получилось (

 
 
 
 Re: доказательство формулы включений и исключений
Сообщение16.04.2013, 18:27 
Аватара пользователя
Про теорию вероятностей. Бывают случаи, когда событие, вероятность которого мы вычисляем, возможно или удобнее разбить на подсобытия, которые совместны, то есть пересекаются самым причудливым способом, причём вероятности самих событий и их всевозможных пересечений легко считаются.
Тогда можно применить формулу включений и исключений. Доказательство по индукции совсем не сложно. Надо лишь при подстановке следить за знаками.
Для случайных величин формулу можно доказать, используя индикаторные функции и свойства матожидания.

 
 
 
 Re: доказательство формулы включений и исключений
Сообщение16.04.2013, 20:00 
gris в сообщении #711173 писал(а):
Про теорию вероятностей. Бывают случаи, когда событие, вероятность которого мы вычисляем, возможно или удобнее разбить на подсобытия, которые совместны, то есть пересекаются самым причудливым способом, причём вероятности самих событий и их всевозможных пересечений легко считаются.
Тогда можно применить формулу включений и исключений. Доказательство по индукции совсем не сложно. Надо лишь при подстановке следить за знаками.
Для случайных величин формулу можно доказать, используя индикаторные функции и свойства матожидания.


ну я имел ввиду, как перенести элементарное доказательство выше на язык теории вероятностей.
По индукции получается все таки сложнее )

 
 
 
 Re: доказательство формулы включений и исключений
Сообщение16.04.2013, 21:08 
Аватара пользователя
На языке ТВ можно сказать словами:
Если имеем конечное число событий, то вероятность наступления хотя бы одного из них равна сумме вероятностей событий минус сумма вероятностей парных пересечений плюс сумма вероятностей тройных пересечений и так далее. Все пересечения учитываются по одному разу.
Можно и формулой записать.
(Сигма)алгебра событий.

 
 
 
 Re: доказательство формулы включений и исключений
Сообщение16.04.2013, 21:21 
Аватара пользователя
voipp в сообщении #711222 писал(а):
ну я имел ввиду, как перенести элементарное доказательство выше на язык теории вероятностей.
По индукции получается все таки сложнее )

Так там же написано, как: записать доказанную любым простым путём формулу включения-исключения через индикаторные функции, а потом взять математические ожидания.

Вряд ли можно перенести это доказательство иначе, кроме как для случая классической вероятности. Там достаточно просто поделить все слагаемые на $|\Omega|$. Но вероятность - совсем не всегда есть отношение численностей.

 
 
 
 Re: доказательство формулы включений и исключений
Сообщение16.04.2013, 21:50 
gris в сообщении #711248 писал(а):
На языке ТВ можно сказать словами:
Если имеем конечное число событий, то вероятность наступления хотя бы одного из них равна сумме вероятностей событий минус сумма вероятностей парных пересечений плюс сумма вероятностей тройных пересечений и так далее. Все пересечения учитываются по одному разу.
Можно и формулой записать.
(Сигма)алгебра событий.


а точно. сигму-алгебру событий взять. спасибо.

 
 
 
 Re: доказательство формулы включений и исключений
Сообщение16.04.2013, 22:34 
Аватара пользователя
Куда-куда брать сигма-алгебру событий? И зачем? :mrgreen:

 
 
 
 Re: доказательство формулы включений и исключений
Сообщение16.04.2013, 22:54 
--mS-- в сообщении #711295 писал(а):
Куда-куда брать сигма-алгебру событий? И зачем? :mrgreen:


прошу прощение за каламбур. Я понял как свести доказательство , где выбирается элемент доказывается что он один.
Оно верно для теории множеств. А тут на лицо множества и его элементы, а вероятность та же мощность множества , только деленная на N. Все очевидно )
Доказательство взял на википедии. Поначалу оно кажется невероятным, действительно в теории множеств да и вообще ни разу не встречал подобной идеи.

 
 
 
 Re: доказательство формулы включений и исключений
Сообщение16.04.2013, 22:58 
Аватара пользователя
voipp в сообщении #711302 писал(а):
а вероятность та же мощность множества , только деленная на N.

Не хотите узнать всё же, что такое вероятность? Такие представления о ней - это даже не 20-й, а 18-й век.

 
 
 
 Re: доказательство формулы включений и исключений
Сообщение17.04.2013, 00:12 
--mS-- в сообщении #711305 писал(а):
voipp в сообщении #711302 писал(а):
а вероятность та же мощность множества , только деленная на N.

Не хотите узнать всё же, что такое вероятность? Такие представления о ней - это даже не 20-й, а 18-й век.


ладно ладно почитаю вики :twisted:

 
 
 [ Сообщений: 10 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group