Доказать что скалярное произведение собственного вектора...

[netang]

Доказать что скалярное произведение собственного вектора транспонированной матрицы($A^{*}$) с собственным вектором матрицы($A$) не равно 0.
Далее более подробно:
Дана квадратная матрица $A$ порядка $N, N \geqslant 1$,
Пусть $\lambda_{k}$ - собственные значения матрицы $A$, $\lambda_{k} \in \operatorname{Re}$, $\lambda_{k}$ - простые собственные значения.
$h_{k}$ - собственные векторы матрицы $A$
Пусть $A^{*}$ - транспонированная матрица от матрицы $A$, $g_{k}$ - собственные векторы матрицы $A^{*}$.
Доказать что $ (h_{1}, g_{1}) \ne 0$.
Подскажите пожалуйста с чего мне начать? Преподаватель сказал использовать следующую формулу: $(Ax, y) = (x, A^{*}y)$

[TOTAL]

netang в сообщении #709061 писал(а):

Доказать что $ (h_{1}, g_{1}) \ne 0$.
Подскажите пожалуйста с чего мне начать?

$ (h_{1}, g_{2}) = ?$

[netang]

TOTAL в сообщении #709079 писал(а):

$ (h_{1}, g_{2}) = ?$

Правильней, думаю будет так:
$(h_{k}, g_{k}) \ne 0$

[TOTAL]

netang в сообщении #709081 писал(а):

TOTAL в сообщении #709079 писал(а):

$ (h_{1}, g_{2}) = ?$

Правильней, думаю будет так:
$(h_{k}, g_{k}) \ne 0$

$ (h_{1}, g_{2}) = ?$ правильней будет, если датите ответ на этот вопрос

[netang]

TOTAL в сообщении #709083 писал(а):

netang в сообщении #709081 писал(а):

TOTAL в сообщении #709079 писал(а):

$ (h_{1}, g_{2}) = ?$

Правильней, думаю будет так:
$(h_{k}, g_{k}) \ne 0$

$ (h_{1}, g_{2}) = ?$ правильней будет, если датите ответ на этот вопрос

Я думаю будет равно любому вещественному числу.

[TOTAL]

$ (h_{1}, g_{2}) = ?$
Для ответа воспользуйтес тем, что советовал преподаватель: $(Ax, y) = (x, A^{*}y)$

[netang]

TOTAL в сообщении #709110 писал(а):

$ (h_{1}, g_{2}) = ?$

$ (h_{1}, g_{2}) = 0$? Но я не понимаю почему так получается

[netang]

То есть они ортогональны, но почему?

[TOTAL]

netang в сообщении #709397 писал(а):

То есть они ортогональны, но почему?

Почему Вы сказали, что они ортогональны?

Кстати, кто эти "они", опишите подробно, что Вы о них знаете.

[netang]

TOTAL в сообщении #709462 писал(а):

Почему Вы сказали, что они ортогональны?

Потому что их скалярное произведение равно нулю

TOTAL в сообщении #709462 писал(а):

Кстати, кто эти "они", опишите подробно, что Вы о них знаете.

"Они" в предыдущем моем сообщении - это собственный вектор $h_{1}$ матрицы $A$ и собственный вектор $g_{2}$ транспонированной матрицы $A^{*}$
Что я знаю о собственных векторах? Знаю что их можно получить если решить систему уравнений $h(A- \lambda E) = 0$, при этом каждому собственному значению матрицы соответствует множество собственных векторов которые лежат на одной прямой. Знаю что собственные значения матрицы $A$ и с.з. транспонированной матрицы$ A^{*}$ совпадают. Все собственные векторы матрицы A ортогональны. Собственные векторы это неподвижные векторы, относительно которых происходит преобразование. Как я себе это представляю(чтобы было понятней нарисую картинку):

Т.е. левая тройка векторов $(h_{1}, h_{2}, h_{3})$ это собственные векторы матрицы $A$, а правая тройка векторов $(g_{1}, g_{2}, g_{3})$ это собственные векторы матрицы $A^{*}$. Из рисунка видно что $(h_{1}, g_{2}) = 0$, то есть они ортогональны, и как я понял надо доказать что $h_{1}$ и $g_{1}$ лежат на одной прямой? Я правильно рассуждаю или совсем не правильно?

[TOTAL]

netang в сообщении #709527 писал(а):

Знаю что собственные значения матрицы $A$ и с.з. транспонированной матрицы$ A^{*}$ совпадают.

Собственные значения, соответствующие векторам $h_1$ и $g_2$, совпадают?
Что получится, если в формулу преподавателя подставить эти два вектора?

Цитата:

$\lambda_{k}$ - простые собственные значения

"простые" - что это здесь значит?

[netang]

TOTAL в сообщении #709532 писал(а):

netang в сообщении #709527 писал(а):

Знаю что собственные значения матрицы $A$ и с.з. транспонированной матрицы$ A^{*}$ совпадают.

Собственные значения $h_1$ и $g_2$ совпадают?
Что получится, если в формулу преподавателя подставить эти два вектора?

Но ведь $h_1$ и $g_2$ это собственные векторы
Допустим $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}$ матрица второго порядка, $h_{1} = \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix} g_{2} = \begin{pmatrix} y_{1} \\ y_{2} \end{pmatrix}. $
Тогда подставляя эти данные в варажение $(A h_{1}, g_{2}) = (A^{*} g_{2}, h_{1})$, получим $a_{12}(x_{1}y_{1}-x_{2}y_{2}) = a_{21}(x_{1}y_{1}-x_{2}y_{2}) \Rightarrow a_{12} = a_{21} $ то есть матрица должна быть симметричной?

TOTAL в сообщении #709532 писал(а):

"простые" - что это здесь значит?

Попарно различны между собой.

[bot]

netang в сообщении #709547 писал(а):

Попарно различны между собой.

Вот я возьму многочлен $x(x-1)^2(x-2)$
Числа $0,1,2$ попарно различны и являются его корнями. Вы их будете называть простыми?

[TOTAL]

netang в сообщении #709547 писал(а):

Но ведь $h_1$ и $g_2$ это собственные векторы
................
Тогда подставляя эти данные в варажение $(A h_{1}, g_{2}) = (A^{*} g_{2}, h_{1})$, получим
............................................................

TOTAL в сообщении #709532 писал(а):

"простые" - что это здесь значит?

Попарно различны между собой.

Соглачен, там была неточность, имелись в виду собственные значения, соответствующие векторам
так различны они или нет
...........................
При подстановке учтите, что это собственные векторы
Что значит $h_1$ - собственный вектор матрицы $A$?
................................................
Да все $N$ штук ($N$ - размерность матрицы) попарно различны

[netang]

bot в сообщении #709553 писал(а):

netang в сообщении #709547 писал(а):

Попарно различны между собой.

Вот я возьму многочлен $x(x-1)^2(x-2)$
Числа $0,1,2$ попарно различны и являются его корнями. Вы их будете называть простыми?

Когда все $n$ корней попарно различны, или если брать отдельно, то с.з. матрицы будет называться простым если оно имеет кратность 1.