Нахождение осей эллипсов

[Dosaev]

Возник вопрос по задаче из Филиппова №975
$\dot{x} = -2x-5y$, $\dot{y} = 2x+2y$
Понятно, что особая точка - центр и траекториями будут являться эллипсы, но не понятно как они будут ориентированы (каковы их оси?) Есть ли общий метод нахождения осей в таких задачах?

[ИСН]

Ну а как Вы поняли, что тут центр и эллипсы?

[Dosaev]

Корни характеристического уравнения чисто мнимые.

[ИСН]

А, ну да...
Короче, не знаю, как тут положено делать (наверняка через какие-нибудь скучные собственные векторы), так что давайте по-простому. Вот есть выражение $ax^2+bxy+cy^2$; мы ведь можем найти от него производную?

[Dosaev]

ИСН в сообщении #709161 писал(а):

Вот есть выражение $ax^2+bxy+cy^2$; мы ведь можем найти от него производную?

Можем, производную по t, да?

[ИСН]

Да, её.

[Dosaev]

Да мы можем найти эту производную, но что делать с коэффициентами $a, b, c$? И для чего ее находить?

[ИСН]

Да так, низачем; валялась на обочине - дай-ка, думаю, найду...
Зайдём с другой стороны: как вообще выглядят эллипсы, и что значит "траекториями будут являться эллипсы"?

[Dosaev]

ИСН в сообщении #709280 писал(а):

как вообще выглядят эллипсы

Эллипсы как элипсы, как они могут еще выглядить.

ИСН в сообщении #709280 писал(а):

, и что значит "траекториями будут являться эллипсы"?

Это значит, что в плоскости $(x, y)$ решения данной системы будут изображаться кривыми, заданными параметрически (от $t$). В данном случае эллипсами, с центром в положении равновесия.

[ИСН]

Уравнения эллипсов на плоскости (x,y) как выглядят?

[Dosaev]

То что вы написали выше, если приравнять константе, и будет уравнением эллипсов.

ИСН в сообщении #709161 писал(а):

Вот есть выражение $ax^2+bxy+cy^2$;

[ИСН]

То-то же. Ну вот я и подумал: если наша траектория - эллипс, значит, вот это выражение вдоль неё постоянно. Оно не меняется со временем. Его производная - 0. А как её выразить? А вот так...

[Dosaev]

Ну а как все-таки найти уравнения осей? Я никак понять не могу. Вот продифференцируем мы это общее уравнение эллипса , подставим вместо $\dot{x}, \dot{y}$ выражения из системы, приравняем к нулю, а дальше? Получится некоторое выражение с $a, b, c, x, y$. Как мне узнать, как будут расположены эллипсы?

[ИСН]

Понятия не имею. Сделайте это сначала.

-- Пт, 2013-04-12, 23:43 --

Там разберёмся.

[Dosaev]

Для данной задачи у меня получилось: $(2b-4a)x^2 + (2c-10a)xy + (4c - 5b)y^2 = 0.$