Алгоритм вычисления квадратного корня...

[maxal]

AchilleS писал(а):

Стесняюсь даже спросить: а что такое логрифмическая линейка, и как она работает?

из Википедии (с фоткой)

[AchilleS]

Все! Разобрался! Кстати, классная штука!

[geomath]

Смотрите, какая параллель. Старшие поколения изучали в школе алгоритм извлечения квадратного корня в столбик, но едва ли его помнят, однако помнят, что такой алгоритм существует. Молодежь уже и этого не знает. Не произойдет ли то же самое с алгоритмом деления чисел в столбик? Молодежь его еще помнит (?), но вряд ли им пользуется. А лет через 20-30 новые поколения и вовсе его не узнают?

[PSP]

geomath писал(а):

Смотрите, какая параллель. Старшие поколения изучали в школе алгоритм извлечения квадратного корня в столбик, но едва ли его помнят, однако помнят, что такой алгоритм существует. Молодежь уже и этого не знает. Не произойдет ли то же самое с алгоритмом деления чисел в столбик? Молодежь его еще помнит (?), но вряд ли им пользуется. А лет через 20-30 новые поколения и вовсе его не узнают?

Ну , скоро вообще забудут, как ручкой или карандашом писать...На клаву подсядут...
И я свою логарифмическую линейку выкидывать не буду..Мало ли что..Электричество отключат, комп куда?

[geomath]

На многих простых дешевых калькуляторах помимо четырех арифметических действий есть еще процент и квадратный корень. Ну, процент - ладно. А корень зачем? Ведь те, кому в жизни достаточно правил арифметики, вряд ли знают и используют корень квадратный, а те, кто знает и использует его, - им этого заведомо мало. Разве не лучше было бы вместо процента и корня иметь экспоненту и логарифм? через которые легко выразить и корень, и любую степень. Или это принципиально усложнит устройство калькулятора?

[PAV]

geomath писал(а):

На многих простых дешевых калькуляторах помимо четырех арифметических действий есть еще процент и квадратный корень. Ну, процент - ладно. А корень зачем?

Интересный вопрос. Думаю, что для понта. Или клавиша лишняя оставалось, надо было что-то туда запихнуть, причем такое, чтобы знали все.

[AchilleS]

Молодежь еще помнит, как делить в столбик
Кроме того, кто виноват в том, что дети сейчас не знают многих элементарных вещей?
Мне кажется, все это должны объяснять в школах по старым учебникам )) Новые ничем не лучше: значительно сокращен материал, пропущены целые разделы алгебры
Например, нас сейчас пытаются познакомить с производной (заметьте, я не ошибся - только познакомить), хотя мы не знаем, что такое предел!! ((
Просто дают голые формулы для заучивания! И в этом виноваты мы?

[Someone]

PAV писал(а):

geomath писал(а):

На многих простых дешевых калькуляторах помимо четырех арифметических действий есть еще процент и квадратный корень. Ну, процент - ладно. А корень зачем?

Интересный вопрос. Думаю, что для понта. Или клавиша лишняя оставалось, надо было что-то туда запихнуть, причем такое, чтобы знали все.

В 19990-1991 годах я был на стажировке в Варшаве. Там в киосках продавались для детей дешёвые наборы: маленький калькулятор описанного типа и шариковая авторучка. Мой коллега купил такой набор, но очень быстро обнаружил, что квадратный корень вычисляется неправильно, и пошёл в киоск менять калькулятор. Он перебрал там кучу калькуляторов, но все они неправильно вычисляли этот злополучный корень, причём, разные калькуляторы давали разные результаты. В конце концов продавец ему заявил: "Ну чего Вы хотите. Это же детская игрушка!".

[geomath]

AchilleS писал(а):

Молодежь еще помнит, как делить в столбик

Допустим, что не будет помнить. Ну и что? Посчитает это на калькуляторе, как считает корень квадратный. Возможно, нечто подобное произойдет и с интегралом (производной). Да уже сейчас вместо того, чтобы интегрировать вручную методом типа неопределенных коэффициентов, легче заглянуть в справочник или воспользоваться математическим пакетом.

Someone писал(а):

"Ну чего Вы хотите. Это же детская игрушка!"

Интересно, а какой будет судьба электронного калькулятора в сравнении с судьбой логарифмической линейки? Эволюцию свою он вроде бы закончил, но и помирать как будто не собирается?

[z_385]

Добрый вечер, господа
Меня интересует нижеследующие вещи
1. Алгоритм вычисления квадратного корня из целого числа "Shifting nth-root algorithm" ("цифра за цифрой"). К сожалению, я нашел только англоязычное описание и не сумел в нем толком разобраться. http://en.wikipedia.org/wiki/Shifting_n ... _algorithm
2. Алгоритм вычисления квадратного корня из целого числа "цифра за цифрой" (что-либо отличное от Shifting nth-root algorithm)
3. Как, используя какой-либо из алгоритмов вычисления квадратного корня из целого числа "цифра за цифрой" получить значение корня с наперед заданным количеством цифр после запятой (более 1, менее $2^{64}$)

[Nerazumovskiy]

Есть замечательная формула Герона:
$x_{n+1} = \frac {1}{2}(x_n + \frac a {x_n})
которая стремится к \sqrt{a}.
Ей как утверждают и розщитивается корень.

[PaveLiArcH]

Вот алгоритм ручного вычисления корня:

1. Провести анализ двух старших разрядов числа $A^2, найти $a_n, квадрат которого наиболее близко подходит к двум старшим разрядам числа $A^2, оставаяс ьменьше последнего.
2. Провести вычитание из старших разрядов $A^2 квадрата числа $a_n.
3. Удвоить $a_n.
4. Сдвинуть остаток от вычитания на 2 разряда влево, а величину $2a_n - на один разряд влево.
5. Приписать справа от остатка вычитания два следующих старших разряда числа $A^2.
6. Провести анализ полученного числа на равенство нулю.
7. Если полученное число не равно 0, то, анализируя его, найти такое $2a_{n-1}, которое, будучи умноженным на (2a_n\cdot 10$+a_{n-1}), даст в результате число, меньшее полученного на пятом шаге, но наиболее близкое к нему по значению. Перейти к п.3.
8. Если при анализе в п.6 получено равенство, то перейти к п.4, предварительно приписв справа от $a_n нуль.
9. После получения количества цифр, равного $\frac {n}{2}, прекратить вычисления.

[xcislav]

maxal в сообщении #41249 писал(а):

Вот например: http://kvant.mccme.ru/1987/03/staryj_algoritm.htm

Вычисляли по любимому старому папирусу. дописав к такому размером числу (38 09 24 68 23) 3 по 2 нуля. 00 00 00
В самом конце после окончания вычисления нулей происходило деление разницы последних чисел на двойной результат (по формуле):
12952884 0 / 123438182

До этого в результате находилось 8 цифр, значит ещё можно 7 вычислять. Но после завершения и результата 61719,0961049342 и возведения его в ^2 ввольфраме сошлось только
380923 4961
т.е. до 5й цифры.

Вопрос. Сколько нулей нужно дописывать к числу с n знаками? Трех пар нулей после запятой очевидно недостаточно для пяти-парного числа до запятой.

ПС. Если надо выложу рассчёты (сложно оформить). Пока что было пересчитано всё вручную как минимум 2 раза (так что я не очень грешу на промежуточные).

[B@R5uk]

Yuri Gendelman в сообщении #42377 писал(а):

AchilleS писал(а):

...попадаются примеры типа (1,08)^0,5 . И надо приблизительно высчитать значение выражения...

Для данного конкретного примера используется приближение
$\sqrt{1+x} \approx 1 + \frac{x}{2}$ при $x \ll 1$

Подсмотрел в википедию, обнаружил такой замечательный ряд Тейлора:

$\sqrt{1+x} = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16}x^3 - \frac{5}{128}x^4 + O(x^5)$

Обратите внимание на знаменатели дробей: это всё степени двойки! А в нашем примере $x = 0,08 = \frac{2^3}{100}$, и корень так и просится, чтобы его посчитали по этой формуле. Попробуем это осуществить.

$\sqrt{1+x} \approx 1 + \frac{1}{2}\frac{8}{100} - \frac{1}{8}\frac{8^2}{10'000} + \frac{1}{2\cdot8}\frac{8^3}{1'000'000} - \frac{5}{2\cdot8^2}\frac{8^4}{100'000'000}$$ = 1 + \frac{4}{100} - \frac{8}{10'000} + \frac{32}{1'000'000} - \frac{160}{100'000'000} =$
+1,000'000'000'000
+0,040'000'000'000
−0,000'800'000'000
+0,000'032'000'000
−0,000'001'600'000
________________
+1,039'230'400'000
Погрешность имеет порядок $0,08^5 = \frac{2^{15}}{10'000'000'000}$ (на самом деле она меньше, так как коэффициенты ряда Тейлора оставшихся членов много меньше единицы):
+0,000'003'276'800

Ну, что ж. Теперь можно взяться и за калькулятор. Он нам даёт следующий результат:
+1,039'230'484'541'326'376'116'467'804'903'5
Как видим все кроме последней посчитанной цифры, а их шесть (!!!) штук, оказались значащими.

[arseniiv]

Почему не семь?