Алгоритм вычисления квадратного корня...

[Brukvalub]

e2e4 писал(а):

..Признайтесь, вы сами придумали то, что оценить погрешность приближенных вычислений, выполненных с использованием полного дифференциала функции, невозможно?

.
Отвечу вопросом на вопрос (хотя сам это и не приветствую): я не знаю способа оценить точность такого вычисления, основанного лишь на понятии дифференциала поэтому прошу Вас научить меня такому оцениванию.

[maxal]

Есть же несколько способов оценить остаток разложения в ряд Тэйлора:
http://mathworld.wolfram.com/CauchyRemainder.html
http://mathworld.wolfram.com/LagrangeRemainder.html
http://mathworld.wolfram.com/SchloemilchRemainder.html

[Brukvalub]

maxal писал(а):

Есть же несколько способов оценить остаток разложения в ряд Тэйлора:
http://mathworld.wolfram.com/CauchyRemainder.html
http://mathworld.wolfram.com/LagrangeRemainder.html
http://mathworld.wolfram.com/SchloemilchRemainder.html

Стоп, стоп, стоп. Кто только что сказал "остаток разложения в ряд Тэйлора" ? Речь шла о свойстве дифференцируемости функции, что не имеет прямого отношения даже к формуле Тейлора с нелокальными формами остаточного члена, не говоря уже о ряде Тейлора. Это уже совсем другая песня...

[e2e4]

Brukvalub, я себя не ограничивал и не собираюсь ограничивать в выборе методов оценки погрешности вычислений, произведенных с использованием свойст полного дифференциала функции. В данной теме я не склонен абстрагироваться от всего математического знания.
Есть смутные подозрения, что методики оценки погрешности должна быть такими же, как и для численных методов решения диф. уравнений, а уж они-то широко применяются и не могут не иметь подобных наработок.

Честно говоря, просто лениво в данный момент думать на эту тему, она достаточно проста, чтобы самостоятельно попробовать найти решение проблемы.

[AchilleS]

Даааа, смешно как-то получилось! )) Я пока что школьник, и не знаю, что значит ряд Тейлора и прочие термины. В будущем со всем этим я планирую разобраться, но пока это не является моей первостепенной задачей....

Так можете посоветовать универсальный способ, если таковой вообще существует (естественно, который не требует много времени)??

Добавлено спустя 6 минут 49 секунд:

О! Нашел литературу по ряду Тейлора !!

[Someone]

Yuri Gendelman писал(а):

Метод извлечения квадратного корня, описанный в статье, которую порекомендовал maxal, раньше изучался в средней школе.
Насчет "зачем это нужно" - вопрос конечно интересный. Я лично не помню, чтобы "в реале" пользовался этим методом.

Я пользовался. Когда калькуляторов не было.

[AchilleS]

Нет, способ, действительно, хороший и относительно быстрый!
Сразу и без проблем освоил

[Brukvalub]

e2e4 писал(а):

Brukvalub, я себя не ограничивал и не собираюсь ограничивать в выборе методов оценки погрешности вычислений, произведенных с использованием свойст полного дифференциала функции. В данной теме я не склонен абстрагироваться от всего математического знания.
Есть смутные подозрения, что методики оценки погрешности должна быть такими же, как и для численных методов решения диф. уравнений, а уж они-то широко применяются и не могут не иметь подобных наработок.

Честно говоря, просто лениво в данный момент думать на эту тему, она достаточно проста, чтобы самостоятельно попробовать найти решение проблемы.

Мне здесь нечего искать ни самостоятельно, ни в компании с Вами, я здесь все для себя давно нашел. Разъясняю тем, кто сначала заводит спор, а потом ему становится

Цитата:

просто лениво в данный момент думать на эту тему

Определение дифференцируемости функции, которое лежит в основе приближенного вычисления путем замены приращения функции ее дифференциалом, принципиально не дает возможности оценить ошибку такого вычисления, поэтому я и предлагал объявить такому подходу войну. Вы же сначала сколь язвительно, настолько же бездоказательно оспариваете мои слова, а потом юркаете в кусты.

[maxal]

Brukvalub писал(а):

Определение дифференцируемости функции, которое лежит в основе приближенного вычисления путем замены приращения функции ее дифференциалом, принципиально не дает возможности оценить ошибку такого вычисления, поэтому я и предлагал объявить такому подходу войну.

Но эта же самая формула может рассматриваться как взятие первых двух членов ряда Тэйлора, и тогда ошибку можно оценить по известным формулам.

[незваный гость]

Brukvalub писал(а):

Определение дифференцируемости функции, которое лежит в основе приближенного вычисления путем замены приращения функции ее дифференциалом, принципиально не дает возможности оценить ошибку такого вычисления, поэтому я и предлагал объявить такому подходу войну. Вы же сначала сколь язвительно, настолько же бездоказательно оспариваете мои слова, а потом юркаете в кусты.

Мне кажется, тут смешивается две разных ситуации:

1) Инструмент в теоретической математике, где есть в огромном количестве плохие функции.

2) Решение прикладной задачи, когда надо быстро оценить ответ. Здесь функции заранее известны и их свойства хорошо изучены. По сути, пользующийся приближением вообще не проводит оценку точности, он полагается на то, что «все хорошо». А если плохо? Тогда неверно $x \ll 1$ , и надо пользоваться другой формулой.

Хорошо это или плохо? Нужно ли учить таким методам? Не знаю. Наверное, все-таки нужно. Но, если мы говорим о математической стороне, нужно учить и получению, и области применимости метода. Этому учат плохо. Мои любимые задачи — на область определения функции. Ловятся почти все.

[Brukvalub]

Да это верное утверждение, и с ним я спорить не буду. Речь я вел о другом: в некоторых учебниках математического анализа, да и в одном из вариантов школьного учебника по алгебре, я встречал следующий пассаж: сразу после определения дифференцируемости предлагается использовать это определение для приближенных вычислений, без каких-либо намеков на необходимость оценок точности такого вычисления. Такого рода задачи повсеместно встречаются и в задачниках по математическому анализу, к сожалению, даже в великолепном задачнике Б.П. Демидовича. Вот с этим, явно порочным подходом, я и воюю.

[e2e4]

Цитата:

Определение дифференцируемости функции, которое лежит в основе приближенного вычисления путем замены приращения функции ее дифференциалом, принципиально не дает возможности оценить ошибку такого вычисления, поэтому я и предлагал объявить такому подходу войну. Вы же сначала сколь язвительно, настолько же бездоказательно оспариваете мои слова, а потом юркаете в кусты.

Я соглашаюсь с тем, что бездоказательно заявил о вашей неправоте. Более того, я не только не написал доказательства вашей неправоты на форуме, но я его в данный момент не знаю,хотя предполагаю, что с большой долей верятности вы неправы. Еще раз повторяю: данная темя меня не интересует, и я не буду тратить свое время на ее изучение.

Для "воинствующих математиков" поясню свою позицию (которую я в этой теме уже привел):
Я считаю, что метод применения полного диф. ф-ии к приближенным вычислениям, в том виде о котором мы с вами говорим, не имеет практического значения. Но он имеет кое-какое педагогическое значение, а именно позволяет студентам глубже "почуствовать" смысл дифференциала функции и ее производной. И да, я считаю, что преподавать этот метод глубже, чем его преподают сейчас, в частности вводить какие-то количественные оценки погрешности вычислений, бессмысленно.

На этом считаю дискуссию по данному конкретному вопросу с вами законченной.

[Yuri Gendelman]

Someone писал(а):

Я пользовался. Когда калькуляторов не было.

25-сантиметровая логарифмическая линейка давала точность 3-4 знака.
Мой отец рассказывал, что диплом он считал на "стационарной" 1-метровой (точность 5-6 знаков) линейке, установленной на кафедре.

[geomath]

Yuri Gendelman писал(а):

Someone писал(а):

Я пользовался. Когда калькуляторов не было.

25-сантиметровая логарифмическая линейка давала точность 3-4 знака.
Мой отец рассказывал, что диплом он считал на "стационарной" 1-метровой (точность 5-6 знаков) линейке, установленной на кафедре.

Когда стало окончательно ясно, что жизненный цикл логарифмической линейки закончился, в центральном магазине одного провинциального городка в отделе уцененных товаров я купил себе первоклассную логарифмическую линейку (когда-то самую дрогую) буквально за 15 копеек, качество замечательное, отличный футляр, просто супер. Конечно, купил не для того, чтобы на ней считать. Кстати говоря, многие вещи, как бы "советские", исчезли из употребления прямо на наших глазах... - навсегда! Впрочем, недавно видел, что граненые "советские" стаканы продаются снова...

[AchilleS]

Стесняюсь даже спросить: а что такое логрифмическая линейка, и как она работает?