Пол Эрдёш: необычная жизнь и необычная математика (задачи)

[Батороев]

В Инете по адресу есть статья М. В. Волкова « Пол Эрдёш: необычная жизнь и необычная математика».

1. При рассмотрении задачи, связанной с таблицей умножения автором указывается, что количество различных чисел в таблицах умножения равны М(2) = 3, М(5) =15, М(10) = 43.
Если с первым значением нужно согласиться, то как получаются второе и третье значения – ума не приложу?
Специально выписываю полученные мной значения:
для М(5) = 14
1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 20, 25.
для М(10) = 42
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 24, 25, 27, 28, 30, 32, 35, 36, 40, 42, 45, 48, 49, 50, 54, 56, 60, 63, 64, 70, 72, 80, 81, 90, 100.

Ведь вроде, математик пишет - значит, считать умеет.
Подскажите, пожалуйста, пропустил ли я какие-либо значения?

2. Про одну из задач П. Эрдёша

М. В. Волков писал(а):

Пусть A - такое множество натуральных чисел, что сумма величин, обратных элементам A, бесконечна. Верно ли, что A содержит сколь угодно длинные арифметические прогрессии?

Чтобы хоть немного почувствовать сложность этой вопроса, предлагаю в качестве упражнения убедиться, что из положительного ответа на него немедленно вытекает знаменитая теорема Ван-дер-Вардена о том, что при любом разбиении множества натуральных чисел на конечное число классов в одном из классов обязательно есть сколь угодно длинные арифметические прогрессии11. Другим следствием положительного ответа было бы существование сколь угодно длинных арифметических прогрессий, состоящих из простых чисел (то, что сумма величин, обратных простым числам, бесконечна, установил еще Эйлер). В отличие от теоремы Ван-дер-Вардена это следствие пока еще никто не доказал.

Эта задача уже рассматривалась на форуме MMOnline.
По последнему вопросу пришли к выводу:
"Каждое конкретное простое число p может участвовать лишь в ариф.прогрессиях из простых чисел, длина которых меньше p" ( в редакции maxal'a ),
т.е. до члена арифметическойпрогрессии $ p + pa $, которое является составным числом.
( p - простое число, а - разность прогрессии)

Но у меня остался вопрос:
Не достаточно ли этого для ответа на задачу П. Эрдёша?
.

[RIP]

Уже доказано, что существуют арифметические прогрессии из простых чисел сколь угодно большой длины, но, насколько мне известно, задача Эрдёша пока не решена.

Батороев писал(а):

Не достаточно ли этого для ответа на задачу П. Эрдёша?

Достаточно чего? И каков же ответ, по-Вашему?

[Батороев]

RIP писал(а):

Уже доказано, что существуют арифметические прогрессии из простых чисел сколь угодно большой длины, но, насколько мне известно, задача Эрдёша пока не решена.

Батороев писал(а):

Не достаточно ли этого для ответа на задачу П. Эрдёша?

Достаточно чего? И каков же ответ, по-Вашему?

Наверное, я неправильно понял условие задачи.
Под словами "сколь угодно длинные" я думал речь идет о бесконечности, т.е. в отношении множества простых чисел:
"могут ли существовать бесконечно длинные арифметические прогрессии, состоящие из простых чисел?"

Если же речь идет о том, что
"могут ли существовать арифметические прогрессии из простых чисел любой, наперед заданной длины M, какой бы величины M не была?"
Тоды - "Ой!"

Хотя, можно порассуждать.
Если разность арифметической прогессии $ a $ не кратна $ 2q $,
где $ q $ - любое простое число, то такая арифметическая прогрессия "получит" в пределах $ q $ членов составное число, кратное $ q $.
В этом легко убедиться, проверив остатки членов прогрессии по основанию $ q $.

Если брать $ a $, кратное одному простому числу, то оно не будет кратно другому.
Если взять $ a = \prod\limits_{i=2}^{p_k} $ от k простых (где $ p_k > M $) , то $ a $ не будет кратно другим простым от $ p_{k+1} $-го до $ p_n = \sqrt{\prod\limits_{i=2}^{p_k}} $, количество которых с возрастанием $ p_k $ будет увеличиваться многократно.
И следовательно, в прогрессии будут появляться составные с частотой, равной этим простым.
По-видимому, если эти составные сумеют обеспечить "коридор", равный заданному числу, то задача, в принципе, может быть выполнена.
Но какие для этого нужны условия - не понятно.
Может быть, $ p_k >> M $