Вы можете по-новому взглянуть на то обоснование ключевого для доказательства неравенства, которое Вы привели в начале темы. И самостоятельно понять, почему это обоснование ошибочно (ошибка состояла в некорректном применении понятия "условная вероятность").
Да, я думал об этом. Здесь надо сначала поговорить о просеивании простых чисел последовательностями. Рассмотреть вопрос об изменении плотности простых чисел при данной операции. Сейчас нам хорошо известен вопрос о просеивании простых чисел арифметическими прогрессиями. С него я и начну. А затем....
Утверждение 1
Асимптотическая плотность простых чисел в натуральном ряде является минимальной в последовательностях арифметических прогрессий

при целых положительных k,l и

.
Доказательство
Ранее было показано, что асимптотическая плотность простых чисел в последовательности арифметической прогрессии определяется по формуле:

.
Для натурального ряда при

получаем:

, т.е.

.
Пусть каноническое разложение k для других случаев:
где

- простое число с номером i.
Рассмотрим отношение:

т.е. больше, чем для натурального ряда ч.т.д.
Следствие
Асимптотическая плотность простых чисел в арифметической прогрессии

при целых положительных (k,l)=1 не зависит от степеней

в каноническом разложении k.
Доказательство следует напрямую из формулы (2).
Таким образом при просеивании простых чисел в натуральном ряде арифметическими прогрессиями

при целых положительных k,l и

плотность простых чисел в данных прогрессиях возрастает.