Алгебра в средней школе

[Nameless_2013]

Навеяно сообщением из этой темы - http://dxdy.ru/topic70403-15.html.

BVR в сообщении #707079 писал(а):

А существующие курсы школьной алгебры выглядят как инструкция: делай так, так и так...

Нужно ли подводить под школьный курс алгебры аксиоматическую основу, как это делается в курсе геометрии?

[arseniiv]

Nameless_2013 в сообщении #707080 писал(а):

как это делается в курсе геометрии?

…и не соблюдается.

[Nameless_2013]

arseniiv в сообщении #707081 писал(а):

…и не соблюдается.

Я бы не сказал, что совсем не соблюдается. Строгость, конечно же, относительная, но разве можно сравнить это с курсом алгебры?

[nnosipov]

Nameless_2013 в сообщении #707080 писал(а):

Нужно ли подводить под школьный курс алгебры аксиоматическую основу, как это делается в курсе геометрии?

Боливар не выдержит двоих. В школьной алгебре нужно доказывать содержательные и неочевидные теоремы. Впрочем, это имеет смысл делать только в матклассах.

[мат-ламер]

nnosipov в сообщении #707084 писал(а):

В школьной алгебре нужно доказывать содержательные и неочевидные теоремы.

Например? (Был опыт доказательства теоремы Абеля о (не)разрешимости уравнений.)

[mihailm]

Nameless_2013 в сообщении #707080 писал(а):

...
Нужно ли подводить под школьный курс алгебры аксиоматическую основу, как это делается в курсе геометрии?

Основа школьного курса алгебры - это скорее всего теория множеств, натуральные числа и их развитие
Аксиоматикой вышеназванного не пользуется (да многие и не знают) 95% профессиональных математиков, а школьникам то она нафиг???

[Denis Russkih]

mihailm в сообщении #707102 писал(а):

Аксиоматикой вышеназванного не пользуется (да многие и не знают) 95% профессиональных математиков

А чем они вообще пользуются, я никак не пойму?.. Всё, что я раньше считал математикой, для настоящих математиков, оказывается, давно пройденный этап и банальности. :) Что же делают настоящие крутые профессиональные математики? В каких областях работают?

[mihailm]

(Оффтоп)

Denis Russkih в сообщении #707120 писал(а):

...
А чем они вообще пользуются, я никак не пойму?.. Всё, что я раньше считал математикой, для настоящих математиков, оказывается, давно пройденный этап и банальности. :) Что же делают настоящие крутые профессиональные математики? В каких областях работают?

Тут сразу несколько вопросов, я бы не рискнул ответить, да и оффтоп это здесь, прочитайте, например ответы на эти вопросы Колмогорова в книжке "Математика - наука и профессия"

[Nameless_2013]

mihailm в сообщении #707102 писал(а):

Основа школьного курса алгебры - это скорее всего теория множеств, натуральные числа и их развитие

Да, я именно это и имел в виду.

mihailm в сообщении #707102 писал(а):

Аксиоматикой вышеназванного не пользуется (да многие и не знают) 95% профессиональных математиков, а школьникам то она нафиг???

А зачем тогда школьникам аксиоматика геометрии?

[mihailm]

Nameless_2013 в сообщении #707131 писал(а):

mihailm в сообщении #707102 писал(а):

Основа школьного курса алгебры - это скорее всего теория множеств, натуральные числа и их развитие

Да, я именно это и имел в виду.
...

Что вы имели в виду? не понял

Nameless_2013 в сообщении #707131 писал(а):

...

mihailm в сообщении #707102 писал(а):

Аксиоматикой вышеназванного не пользуется (да многие и не знают) 95% профессиональных математиков, а школьникам то она нафиг???

А зачем тогда школьникам аксиоматика геометрии?

Что тут с логикой.
-Девочки носят платья, может и мальчикам надо их носить?
-А им то зачем?
-А девочкам тогда зачем?

[nnosipov]

мат-ламер в сообщении #707096 писал(а):

Например? (Был опыт доказательства теоремы Абеля о (не)разрешимости уравнений.)

Скажем, теорема о том, что всякий симметрический многочлен выражается через элементарные симметрические многочлены, рекуррентная формула Ньютона для степенных сумм. Какие-нибудь признаки неприводимости многочленов типа критерия Эйзенштейна. Антипример: теорема Безу.

[Yuri Gendelman]

Nameless_2013 в сообщении #707080 писал(а):

Нужно ли подводить под школьный курс алгебры аксиоматическую основу, как это делается в курсе геометрии?

IMHO
- Курс школьной геометрии аксиоматизируется системой аксиом Эвклида. Эти аксиомы не требуют введения новых понятий, не изучаемых в школе.
- Чтобы аксиоматизировать курс школьной алгебры, нужно дополнительно вводить понятия колец и полей.

[apriv]

Yuri Gendelman в сообщении #707957 писал(а):

- Курс школьной геометрии аксиоматизируется системой аксиом Эвклида. Эти аксиомы не требуют введения новых понятий, не изучаемых в школе.
- Чтобы аксиоматизировать курс школьной алгебры, нужно дополнительно вводить понятия колец и полей.

Это иллюзия, никто никогда аксиом Эвклида не видел в глаза в средней школе. А никаких колец и полей не нужно вводить для нормального изложения теории чисел (видимо, имеется в виду именно она, а не алгебра). Речь идет о делимости целых чисел, при чем тут кольца и поля?

[Nameless_2013]

apriv в сообщении #707996 писал(а):

никаких колец и полей не нужно вводить для нормального изложения теории чисел (видимо, имеется в виду именно она, а не алгебра)

Я имел в виду свойства вещественных чисел: свойства сложения, свойства умножения, свойства неравенств, далее - свойства абсолютных величин, степеней и корней. Как это всё доказывать? В школьной геометрии первые теоремы доказываются на основе аксиом, затем на основе этих теорем и иногда аксиом доказываются другие теоремы. А какая основа у школьного курса алгебры?

[apriv]

Nameless_2013 в сообщении #708053 писал(а):

Я имел в виду свойства вещественных чисел: свойства сложения, свойства умножения, свойства неравенств, далее - свойства абсолютных величин, степеней и корней. Как это всё доказывать? В школьной геометрии первые теоремы доказываются на основе аксиом, затем на основе этих теорем и иногда аксиом доказываются другие теоремы. А какая основа у школьного курса алгебры?

Я говорю о целых и рациональных числах, операциях над ними, свойствах делимости и так далее. Появление вещественных чисел уже является шагом в сторону анализа, алгебра тут ни при чем. Но и изучение вещественных чисел можно вести ровно так, как это делается в [почти] любом курсе матанализа: формулируется небольшой набор аксиом (вещественные числа – это полное архимедово вполне упорядоченное поле), с помощью которых уже все на свете доказывается.