Я имел в виду свойства вещественных чисел: свойства сложения, свойства умножения, свойства неравенств, далее - свойства абсолютных величин, степеней и корней. Как это всё доказывать? В школьной геометрии первые теоремы доказываются на основе аксиом, затем на основе этих теорем и иногда аксиом доказываются другие теоремы. А какая основа у школьного курса алгебры?
Я говорю о целых и рациональных числах, операциях над ними, свойствах делимости и так далее. Появление вещественных чисел уже является шагом в сторону анализа, алгебра тут ни при чем. Но и изучение вещественных чисел можно вести ровно так, как это делается в [почти] любом курсе матанализа: формулируется небольшой набор аксиом (вещественные числа – это полное архимедово вполне упорядоченное поле), с помощью которых уже все на свете доказывается.