Матрицы

[TelmanStud]

Добрый вечер!
Ни как не могу справится с этой задачкой.. Может подкинет кто идей

Две вещественные матрицы коммутируют, т.е.

$$AB=BA. \eqno{(1)}$$

Доказать, что

$$\det(A^2+B^2)\geq 0. \eqno{(2)}$$

Верно ли утверждение $(2)$ без условия $(1)$?

Deggial: формулы оформил

[RIP]

Указание: разложите $A^2+B^2$ на множители (используя комплексные числа). Без условия контрпример должен легко строиться для матриц 2-го порядка, наверное.

[TelmanStud]

RIP
Пробовал ничего толкого

-- 05.04.2013, 23:26 --

Хотел методом мат индукции но ничего путного для случая двумерных матриц тоже не вышло. Олимпиадная задача- МФТИ 2009

[RIP]

Не нужно никакой индукции. Надо разложить $A^2+B^2$ на множители.

[TelmanStud]

Допустим так
$\det((A+iB)(A-iB))=\det(A+iB)\det(A-iB)$
А дальше что

[RIP]

Как связаны матрицы $A\pm\mathrm iB$?

[TelmanStud]

Не наю

[RIP]

Можно догадаться, если посмотреть на то, что требуется доказать.

[TelmanStud]

Только не говори что у них определители одинакового знака

[RIP]

Что значит «одинакового знака»? Это комплексные числа.

[TelmanStud]

Ответ может быть неотрицательным если только значение этих определителей комплексно сопряжены.
Если ты к этому клонил то исходя из чего такое утверждение

[RIP]

Не только в этом случае, но именно к этому я и клонил. Исходя из определения определителя, извините за каламбур.

[TelmanStud]

Да все нормально... А что значит исходя из определения определителя.. Как это вытекает. два на два матрице это еще можно проследить но как доказать в общем случае

[RIP]

Определитель матрицы является многочленом от элементов матрицы с вещественными коэффициентами.

[TelmanStud]

Спасибо друг